4x4-Matrix/Blockmatrix/R/Eigenräume/Aufgabe/Lösung

a) Es ist

${}{\begin{aligned}\chi _{M}&=\det \left({\begin{pmatrix}X&0&0&0\\0&X&0&0\\0&0&X&0\\0&0&0&X\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}2&3&0&0\\4&1&0&0\\0&0&5&-2\\0&0&1&3\end{pmatrix}}\right)\\&=\det {\begin{pmatrix}X-2&-3&0&0\\-4&X-1&0&0\\0&0&X-5&2\\0&0&-1&X-3\end{pmatrix}}\\&={\left({\left(X-2\right)}{\left(X-1\right)}-12\right)}\cdot {\left({\left(X-5\right)}{\left(X-3\right)}+2\right)}\\&={\left(X^{2}-3X-10\right)}\cdot {\left(X^{2}-8X+17\right)}\\&=X^{4}-11X^{3}+31X^{2}+29X-170.\end{aligned}}$

b) Wir untersuchen, ob die beiden quadratischen Polynome reelle Nullstellen besitzen. Die Gleichung

${}X^{2}-3X-10=0\,$

führt auf

${}x_{1,2}={\frac {\pm {\sqrt {9+40}}+3}{2}}={\frac {\pm 7+3}{2}}\,,$

also

${}x_{1}=5\,$

und

${}x_{2}=-2\,.$

Die Gleichung

${}X^{2}-8X-17=0\,$

führt auf

${}x_{3,4}={\frac {\pm {\sqrt {64-68}}+8}{2}}={\frac {\pm {\sqrt {-4}}+8}{2}}\,,$

was reell keine Lösung besitzt. Die Faktorzerlegung ist also

${}\chi _{M}={\left(X-5\right)}{\left(X+2\right)}\cdot {\left(X^{2}-8X+17\right)}\,.$

c) Die Eigenwerte sind ${}5$ und ${}-2$. Der Eigenraum zu ${}5$ ist der Kern von

${\begin{pmatrix}3&-3&0&0\\-4&4&0&0\\0&0&0&2\\0&0&-1&2\end{pmatrix}},$

das ist

$\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}}.$

Der Eigenraum zu ${}-2$ ist der Kern von

${\begin{pmatrix}-4&-3&0&0\\-4&-3&0&0\\0&0&-7&2\\0&0&-1&-5\end{pmatrix}},$

das ist

$\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\0\end{pmatrix}}.$

Zur gelösten Aufgabe