A-Singularität/Morphismus von C punktiert/Liftungseigenschaft/Aufgabe

Es sei  $n\in {\mathbb{N}}_{\ge 2}$  fixiert. Wir betrachten

$V=\{(x,y,z)\in {ℂ}^3\mid xy=z^n\}$

und die offene Menge

$U=V\setminus \{0,0,0\}.$

a) Es sei  $d\in \mathbb{Z}$.  Zeige, dass

$\phi :ℂ\setminus \{(0)\}⟶V,t⟼(t^d,t^{-d},1),$

eine algebraische (rationale) Abbildung ist, die auf $U$ abbildet.

b) Zeige, dass die Einschränkung von $\phi$ auf  $S^1\subseteq ℂ$  ein geschlossener stetiger Weg in $U$ mit Aufpunkt $(1,1,1)$ ist. Beschreibe explizit die Verknüpfung dieser Abbildung mit der trigonometrischen Parametrisierung des Einheitskreises.

c) Es sei

$q:{ℂ}^2⟶V,(u,v)⟼(u^n,v^n,uv).$

Zeige, dass es eine rationale Abbildung

$\tilde{\phi }:ℂ\setminus \{(0)\}⟶{ℂ}^2$

mit

$\phi =q\circ \tilde{\phi }$

genau dann gibt, wenn $d$ ein Vielfaches von $n$ ist.

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