A-Singularität/Morphismus von C punktiert/Liftungseigenschaft/Aufgabe

Es sei  ${}n\in \mathbb {N} _{\geq 2}$  fixiert. Wir betrachten

${}V={\left\{(x,y,z)\in {\mathbb {C} }^{3}\mid xy=z^{n}\right\}}\,$

und die offene Menge

${}U=V\setminus \{0,0,0\}\,.$

a) Es sei  ${}d\in \mathbb {Z}$.  Zeige, dass

$\varphi \colon {\mathbb {C} }\setminus \{(0)\}\longrightarrow V,\,t\longmapsto \left(t^{d},\,t^{-d},\,1\right),$

eine algebraische (rationale) Abbildung ist, die auf ${}U$ abbildet.

b) Zeige, dass die Einschränkung von ${}\varphi$ auf  ${}S^{1}\subseteq {\mathbb {C} }$  ein geschlossener stetiger Weg in ${}U$ mit Aufpunkt ${}(1,1,1)$ ist. Beschreibe explizit die Verknüpfung dieser Abbildung mit der trigonometrischen Parametrisierung des Einheitskreises.

c) Es sei

$q\colon {\mathbb {C} }^{2}\longrightarrow V,\,(u,v)\longmapsto \left(u^{n},\,v^{n},\,uv\right).$

Zeige, dass es eine rationale Abbildung

${\tilde {\varphi }}\colon {\mathbb {C} }\setminus \{(0)\}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2}$

mit

${}\varphi =q\circ {\tilde {\varphi }}\,$

genau dann gibt, wenn ${}d$ ein Vielfaches von ${}n$ ist.

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