A-Singularität/Morphismus von C punktiert/Liftungseigenschaft/Aufgabe/Lösung

a) Es ist

$t^d{t}^{-d}=1,$

daher erfüllen die Bildpunkte der Abbildung die Gleichung

$xy=z^n$

und liegen somit auf $V$. Das Bild landet in $U$, da der Nullpunkt allein schon wegen der dritten Komponenten ausgeschlossen ist.

b) Mit der Parametisierung des komplexen Einheitskreises

$ℝ⟶S^1\subseteq {ℂ}^{\times },s⟼e^{2\pi \mathrm{i}s},$

ist die verknüpfte Abbildung gleich

$ℝ⟶U,s⟼(e^{2\pi \mathrm{i}ds},e^{-2\pi \mathrm{i}ds},1).$

Auf $[0,1]$ wird der Kreis durchlaufen, deshalb ist dies ein geschlossener Weg mit Aufpunkt  $\phi (t)=(1,1,1)$. 

c) Bei  $d=kn$  kann man direkt

$\tilde{\phi }(t):=(t^k,t^{-k})$

ansetzen, dies erfüllt wegen

$\begin{array}{cc}q(\tilde{\phi }(t))& =q(t^k,t^{-k})\\ & =({\left(t^k\right)}^n,{\left(t^{-k}\right)}^n,t^k\cdot t^{-k})\\ & =(t^{kn},t^{-kn},1)\\ & =(t^d,t^{-d},1)\end{array}$

die Bedingung. Angenommen, es gibt eine rationale Liftung, also insbesondere eine rationale Funktion

${\tilde{\phi }}_1(t)=\frac{P(t)}{Q(t)}$

mit

$t^d={({\tilde{\phi }}_1(t))}^n.$

Aus der Faktorialität und der Normalität von $ℂ[t]$ folgt, dass $t^d$ schon in $ℂ[t]$ eine $n$-te Wurzel besitzt. Doch dann muss $d$ ein Vielfaches von $n$ sein.

Zur gelösten Aufgabe