A-Singularität/Morphismus von C punktiert/Liftungseigenschaft/Aufgabe/Lösung

a) Es ist

${}t^{d}t^{-d}=1\,,$

daher erfüllen die Bildpunkte der Abbildung die Gleichung

${}xy=z^{n}\,$

und liegen somit auf ${}V$. Das Bild landet in ${}U$, da der Nullpunkt allein schon wegen der dritten Komponenten ausgeschlossen ist.

b) Mit der Parametisierung des komplexen Einheitskreises

$\mathbb {R} \longrightarrow S^{1}\subseteq {\mathbb {C} }^{\times },\,s\longmapsto e^{2\pi {\mathrm {i} }s},$

ist die verknüpfte Abbildung gleich

$\mathbb {R} \longrightarrow U,\,s\longmapsto \left(e^{2\pi {\mathrm {i} }ds},\,e^{-2\pi {\mathrm {i} }ds},\,1\right).$

Auf ${}[0,1]$ wird der Kreis durchlaufen, deshalb ist dies ein geschlossener Weg mit Aufpunkt  ${}\varphi (t)=(1,1,1)$. 

c) Bei  ${}d=kn$  kann man direkt

${}{\tilde {\varphi }}(t):={\left(t^{k},t^{-k}\right)}\,$

ansetzen, dies erfüllt wegen

${}{\begin{aligned}q{\left({\tilde {\varphi }}(t)\right)}&=q{\left(t^{k},t^{-k}\right)}\\&=\left({\left(t^{k}\right)}^{n},\,{\left(t^{-k}\right)}^{n},\,t^{k}\cdot t^{-k}\right)\\&=\left(t^{kn},\,t^{-kn},\,1\right)\\&=\left(t^{d},\,t^{-d},\,1\right)\end{aligned}}$

die Bedingung. Angenommen, es gibt eine rationale Liftung, also insbesondere eine rationale Funktion

${}{\tilde {\varphi }}_{1}(t)={\frac {P(t)}{Q(t)}}\,$

mit

${}t^{d}={\left({\tilde {\varphi }}_{1}(t)\right)}^{n}\,.$

Aus der Faktorialität und der Normalität von ${}{\mathbb {C} }[t]$ folgt, dass ${}t^{d}$ schon in ${}{\mathbb {C} }[t]$ eine ${}n$-te Wurzel besitzt. Doch dann muss ${}d$ ein Vielfaches von ${}n$ sein.

Zur gelösten Aufgabe