Abbildung/Verknüpfung/Injektiv und surjektiv/Aufgabe/Lösung

a) ${}f$ ist injektiv, da man aus der ersten Komponente ${}x$ und damit aus der zweiten Komponente ${}y$ rekonstruieren kann. ${}f$ ist nicht surjektiv, da ${}(0,0,1)$ nicht getroffen wird. Ein Urbild ${}(x,y)$ müsste ${}x=0$ erfüllen, doch dann müsste auch

${}y=0\,$

sein und der Bildpunkt wäre ${}(0,0,0)$.

b) ${}g$ ist nicht injektiv, da alle Elemente der Form ${}(u,2u,0)$ auf ${}(0,0)$ abgebildet werden. ${}g$ ist surjektiv, da ${}(0,-v,w)$ auf ein vorgegebenes ${}(v,w$ abbildet.

c) Es ist

${}{\begin{aligned}(g\circ f)(x,y)&=g(x,y-x^{2},y^{5})\\&=g(f(x,y))\\&=(2x-(y-x^{2}),y^{5})\\&=(2x+x^{2}-y,y^{5})\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}(f\circ g)(u,v,w)&=f(g(u,v,w))\\&=f(2u-v,w)\\&=(2u-v,w-(2u-v)^{2},w^{5})\\&=(2u-v,w-4u^{2}+4uv-v^{2},w^{5}).\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe