Es seien
L
,
M
{\displaystyle {}L,\,M}
N
{\displaystyle {}N}
F
:
L
⟶
M
,
x
⟼
F
(
x
)
,
{\displaystyle F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),}
und
G
:
M
⟶
N
,
y
⟼
G
(
y
)
,
{\displaystyle G\colon M\longrightarrow N,\,y\longmapsto G(y),}
Abbildungen .
Dann heißt die Abbildung
G
∘
F
:
L
⟶
N
,
x
⟼
G
(
F
(
x
)
)
,
{\displaystyle G\circ F\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto G(F(x)),}
die Hintereinanderschaltung der Abbildungen
F
{\displaystyle {}F}
G
{\displaystyle {}G}
Eine Hintereinanderschaltung kann man sich durch ein Diagramm der Form
L
⟶
F
M
⟶
G
N
{\displaystyle L{\stackrel {F}{\longrightarrow }}M{\stackrel {G}{\longrightarrow }}N}
gut veranschaulichen.
Wenn die Abbildungen durch funktionale Ausdrücke gegeben sind, so erhält man die zusammengesetzte Abbildung, in den man den einen funktionalen Ausdruck in den anderen funktionalen Ausdruck einsetzt. Damit ist folgendes gemeint: Wenn
φ
,
ψ
:
R
≥
0
⟶
R
≥
0
{\displaystyle \varphi ,\psi \colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}}
Funktionen sind, die durch
φ
(
x
)
=
x
2
+
5
{\displaystyle {}\varphi (x)=x^{2}+5}
ψ
(
y
)
=
y
{\displaystyle {}\psi (y)={\sqrt {y}}}
ψ
∘
φ
{\displaystyle {}\psi \circ \varphi }
φ
{\displaystyle {}\varphi }
(
ψ
∘
φ
)
(
x
)
=
ψ
(
φ
(
x
)
)
=
x
2
+
5
.
{\displaystyle {}(\psi \circ \varphi )(x)=\psi (\varphi (x))={\sqrt {x^{2}+5}}\,.}
In der anderen Reihenfolge ergibt sich
(
φ
∘
ψ
)
(
y
)
=
φ
(
ψ
(
y
)
)
=
y
2
+
5
=
y
+
5
.
{\displaystyle {}(\varphi \circ \psi )(y)=\varphi (\psi (y))={\sqrt {y}}^{2}+5=y+5\,.}
Hier haben wir die beiden Funktionen mit unterschiedlichen Variablen geschrieben, was die Einsetzung dann erleichtert hat. Häufig muss man zuerst eine sinnvolle Umbenennung durchführen.
Es seien
L
,
M
,
N
{\displaystyle {}L,M,N}
P
{\displaystyle {}P}
F
:
L
⟶
M
,
x
⟼
F
(
x
)
,
{\displaystyle F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),}
G
:
M
⟶
N
,
y
⟼
G
(
y
)
,
{\displaystyle G\colon M\longrightarrow N,\,y\longmapsto G(y),}
und
H
:
N
⟶
P
,
z
⟼
H
(
z
)
,
{\displaystyle H\colon N\longrightarrow P,\,z\longmapsto H(z),}
Abbildungen .
Dann ist
H
∘
(
G
∘
F
)
=
(
H
∘
G
)
∘
F
.
{\displaystyle {}H\circ (G\circ F)=(H\circ G)\circ F\,.}
◻
{\displaystyle \Box }
Es seien
L
,
M
{\displaystyle {}L,\,M}
N
{\displaystyle {}N}
F
:
L
⟶
M
,
x
⟼
F
(
x
)
,
{\displaystyle F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),}
und
G
:
M
⟶
N
,
y
⟼
G
(
y
)
,
{\displaystyle G\colon M\longrightarrow N,\,y\longmapsto G(y),}
Abbildungen
mit der
Hintereinanderschaltung
G
∘
F
:
L
⟶
N
.
{\displaystyle G\circ F\colon L\longrightarrow N.}
Dann gelten folgende Eigenschaften.
Wenn
F
{\displaystyle {}F}
G
{\displaystyle {}G}
injektiv
sind, so ist auch
G
∘
F
{\displaystyle {}G\circ F}
Wenn
F
{\displaystyle {}F}
G
{\displaystyle {}G}
surjektiv
sind, so ist auch
G
∘
F
{\displaystyle {}G\circ F}
Wenn
F
{\displaystyle {}F}
G
{\displaystyle {}G}
bijektiv
sind, so ist auch
G
∘
F
{\displaystyle {}G\circ F}
Es seien
x
,
x
′
∈
L
{\displaystyle {}x,x'\in L}
G
(
F
(
x
)
)
=
G
(
F
(
x
′
)
)
{\displaystyle {}G(F(x))=G(F(x'))\,}
gegeben. Aufgrund der Injektivität von
G
{\displaystyle {}G}
F
(
x
)
=
F
(
x
′
)
{\displaystyle {}F(x)=F(x')\,}
und aufgrund der Injektivität von
F
{\displaystyle {}F}
x
=
x
′
,
{\displaystyle {}x=x'\,,}
was die Injektivität von
G
∘
F
{\displaystyle {}G\circ F}
Sei
z
∈
N
{\displaystyle {}z\in N}
G
{\displaystyle {}G}
y
∈
M
{\displaystyle {}y\in M}
G
(
y
)
=
z
.
{\displaystyle {}G(y)=z\,.}
Aufgrund der Surjektivität von
F
{\displaystyle {}F}
x
∈
L
{\displaystyle {}x\in L}
F
(
x
)
=
y
.
{\displaystyle {}F(x)=y\,.}
Insgesamt ist
(
G
∘
F
)
(
x
)
=
G
(
F
(
x
)
)
=
G
(
y
)
=
z
,
{\displaystyle {}(G\circ F)(x)=G(F(x))=G(y)=z\,,}
es gibt also ein Urbild von
z
{\displaystyle {}z}
Folgt aus (1) und (2).
◻
{\displaystyle \Box }
