Abelsche Gruppe/Normfunktion/Einführung/Endlich erzeugt/Textabschnitt

Die folgende Definition orientiert sich an der Normfunktion für einen reellen oder komplexen Vektorraum, siehe Definition. Genauer spricht man von einer Seminorm, wenn nicht nur der Nullvektor den Wert ${}0$ haben kann.

Definition

Es sei ${}G$ eine kommutative Gruppe. Eine Abbildung

$\vert {-}\vert \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ,\,v\longmapsto \vert {v}\vert ,$

heißt Seminorm, wenn die folgenden Eigenschaften für alle ${}v,w\in G$ gelten.

1. ${}\vert {v}\vert \geq 0$.
2. Für ${}n\in \mathbb {Z}$ und ${}v\in G$ gilt

   ${}\vert {nv}\vert =\vert {n}\vert \cdot \vert {v}\vert \,.$

3. Für ${}v,w\in G$ gilt

   ${}\vert {v+w}\vert \leq \vert {v}\vert +\vert {w}\vert \,.$

Für jede Untergruppe ${}G\subseteq V$ eines ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraumes ${}V$ mit einer Norm ${}\Vert {-}\Vert$ auf ${}V$ wird unmittelbar eine (Semi)-Norm auf ${}G$ induziert. Solche Untergruppen sind torsionsfrei. Seminormen sind insbesondere für Gruppen mit Torsionselementen relevant. Für ein Torsionselement ${}x\in G$ folgt aus der zweiten Eigenschaft direkt ${}\vert {x}\vert =0$. Wenn also eine kommutative Gruppe mit Torsionsanteil vorliegt, so gibt es keine Norm, nur Seminormen. Die Nullfunktion ist eine Seminorm. Wichtig sind die folgenden Höhenfunktionen, mit denen man zeigen kann, dass eine Gruppe endlich erzeugt ist.

Definition

Eine Seminorm ${}h\colon G\rightarrow \mathbb {R}$ auf einer kommutativen Gruppe ${}G$ heißt Höhenfunktion, wenn für jedes ${}b\in \mathbb {R}$ die Menge

${\left\{x\in G\mid h(x)\leq b\right\}}$

endlich ist.

Lemma

Es sei ${}G$ eine kommutative Gruppe mit einer Höhenfunktion ${}h\colon G\rightarrow \mathbb {R}$.

Dann ist die Torsionsuntergruppe von ${}G$ endlich.

Beweis

Dies folgt direkt mit der Schranke ${}b=0$, da ${}h(x)=0$ für alle Torsionselemente gilt.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}G$ eine kommutative Gruppe und sei ${}m\geq 2$ eine fixierte natürliche Zahl.

Dann ist ${}G$ genau dann endlich erzeugt, wenn ${}G$ eine Höhenfunktion besitzt und die Restklassengruppe ${}G/mG$ endlich ist.

Beweis

Es sei zunächst ${}G$ endlich erzeugt. Dann ist nach dem Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen

${}G=\mathbb {Z} ^{r}\times T\,$

mit einer endlichen Torsionsgruppe ${}T$. Wir betrachten

$\mathbb {Z} ^{r}\times T{\stackrel {p_{1}}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} ^{r}\hookrightarrow \mathbb {R} ^{r}.$

Dann ergibt jede Norm auf ${}\mathbb {R} ^{r}$ eine Seminorm auf ${}G$, die auch die Endlichkeitsbedingung einer Höhenfunktion erfüllt, da in einem Ball nur endlich viele Gitterpunkte liegen (man denke etwa an die Maximumsnorm). Ferner ist

${}G/mG=\mathbb {Z} ^{r}\times T/m{\left(\mathbb {Z} ^{r}\times T\right)}={\left(\mathbb {Z} /(m)\right)}^{r}\times T/mT\,$

endlich.

Zum Beweis der Umkehrung sei eine Höhenfunktion ${}h$ gegeben und seien ${}x_{1},\ldots ,x_{k}\in G$ Repräsentanten für die nach Voraussetzung endliche Gruppe ${}G/mG$. Wir setzen

${}b={\max {\left(h(x_{i}),i=1,\ldots ,k\right)}}\,.$

Es sei ${}F$ die von den endlich vielen Elementen ${}{\left\{x\in G\mid h(x)\leq b\right\}}$ erzeugte Untergruppe von ${}G$. Wir behaupten ${}F=G$. Nehmen wir an, dass es ein ${}y\in G\setminus F$ gibt, dann ist insbesondere ${}h(y)>b$. Da die Menge ${}{\left\{x\in G\mid h(x)\leq h(y)\right\}}$ endlich ist, können wir annehmen, dass ${}y$ unter allen Elementen außerhalb von ${}F$ die minimale Höhe besitzt. Wegen

${}G/mG=F/mF\,$

gibt es ein ${}x\in F$ und ein ${}z\in G$ mit

${}y=x+mz\,.$

Dann ist

${}{\begin{aligned}2h(z)&\leq mh(z)\\&=h(mz)\\&=h(y-x)\\&\leq h(y)+h(x)\\&\leq h(y)+b\\&<2h(y).\end{aligned}}$

Damit ist

${}h(z)<h(y)\,$

und wegen der Minimalitätsbedingung an ${}y$ folgt ${}z\in F$. Doch dann ist auch ${}y\in F$, ein Widerspruch.

$\Box$

Beispiel

Die Gruppe ${}G={\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{(\mathbb {N} )}$ zu ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ ist nicht endlich erzeugt. Wenn ${}n$ teilerfremd zu ${}m$ ist, so ist

${}G/mG={\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{(\mathbb {N} )}/m{\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{(\mathbb {N} )}={\left(\mathbb {Z} /(m,n)\right)}^{(\mathbb {N} )}=0\,.$

Nach Fakt kann es keine Höhenfunktion auf ${}G$ geben.

Auf ${}\mathbb {Z} ^{(\mathbb {N} )}$ gibt es eine Höhenfunktion.