Abelsche Kategorie/Genügend Injektive/Linksexakter Funktor/Rechtsabgeleiteter Funktor/Definition

Rechtsabgeleiteter Funktor

Es seien ${}{\mathcal {A}}$ und ${}{\mathcal {B}}$ abelsche Kategorien und ${}{\mathcal {A}}$ habe genügend viele injektive Objekte. Es sei

$F\colon {\mathcal {A}}\longrightarrow {\mathcal {B}}$

ein kovarianter additiver linksexakter Funktor. Der ${}n$-te rechtsabgeleitete Funktor

$R^{n}F\colon {\mathcal {A}}\longrightarrow {\mathcal {B}}$

(${}n\in \mathbb {N}$) ist folgendermaßen definiert: Für ein Objekt ${}M\in {\mathcal {A}}$ nimmt man eine injektive Auflösung ${}I^{\bullet }$ von ${}M$ und setzt

${}R^{n}F(M):=H^{n}(F(I^{\bullet }))\,,$

und für einen Homomorphismus ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ in ${}{\mathcal {A}}$ nimmt man eine Fortsetzung ${}{\tilde {\varphi }}\colon I^{\bullet }\rightarrow J^{\bullet }$ (wobei ${}J^{\bullet }$ eine injektive Auflösung von ${}N$ ist) und setzt

${}R^{n}F(\varphi ):=(H^{n}({\tilde {\varphi }}):H^{n}(F(I^{\bullet }))\rightarrow H^{n}(F(J^{\bullet })))\,$

mit dem induzierten Homomorphismus auf der Homologie im Sinne von Fakt.