Abelsche Kategorie/Genügend Injektive/Linksexakter Funktor/Rechtsabgeleiteter Funktor/Definition

Rechtsabgeleiteter Funktor

Es seien $𝒜$ und $ℬ$ abelsche Kategorien und $𝒜$ habe genügend viele injektive Objekte. Es sei

$F:𝒜⟶ℬ$

ein kovarianter additiver linksexakter Funktor. Der $n$-te rechtsabgeleitete Funktor

$R^{n}F:𝒜⟶ℬ$

($n\in \mathbb{N}$) ist folgendermaßen definiert: Für ein Objekt  $M\in 𝒜$  nimmt man eine injektive Auflösung $I^{\bullet }$ von $M$ und setzt

$R^{n}F(M):=H^n(F(I^{\bullet })),$

und für einen Homomorphismus $\phi :M\to N$ in $𝒜$ nimmt man eine Fortsetzung $\tilde{\phi }:I^{\bullet }\to J^{\bullet }$ (wobei $J^{\bullet }$ eine injektive Auflösung von $N$ ist) und setzt

$R^{n}F(\phi ):=(H^n(\tilde{\phi }):H^n(F(I^{\bullet }))\to H^n(F(J^{\bullet })))$

mit dem induzierten Homomorphismus auf der Homologie im Sinne von Fakt.