Abelsche Kategorie/Genügend Injektive/Rechtsabgeleiteter Funktor/Delta-Eigenschaften/Fakt

Satz über rechtsabgeleitete Funktoren

Es seien $𝒜$ und $ℬ$ abelsche Kategorien und $𝒜$ habe genügend viele injektive Objekte. Es sei $F:𝒜\to ℬ$ ein kovarianter additiver linksexakter Funktor und es bezeichne $R^{n}F$ die rechtsabgeleiteten Funktoren. Dann gelten folgende Eigenschaften

1. Die $R^{n}F$ sind wohldefinierte additive Funktoren von $𝒜$ nach $ℬ$.
2. Es liegt ein natürlicher Isomorphismus  $R^{0}F\cong F$  vor.
3. Zu jeder kurzen exakten Sequenz

   $0⟶A⟶B⟶C⟶0$

   in $𝒜$ und jedem  $n\in \mathbb{N}$  gibt es natürliche Verbindungshomomorphismen

   ${\delta }^n:R^{n}F(C)⟶R^{n+1}F(A)$

   derart, dass ein exakter Komplex

   $\dots ⟶R^{n-1}F(C)\stackrel{{\delta }^{n-1}}{⟶}{R}^{n}F(A)⟶R^{n}F(B)⟶R^{n}F(C)\stackrel{{\delta }^n}{⟶}{R}^{n+1}F(A)⟶R^{n+1}F(B)⟶\dots$

   in $ℬ$ vorliegt.

4. Zu einem Homomorphismus von exakten Sequenzen

   $\begin{array}{cccccccccc}0& \stackrel{}{⟶}& A& \stackrel{}{⟶}& B& \stackrel{}{⟶}& C& \stackrel{}{⟶}& 0& \\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & \\ 0& \stackrel{}{⟶}& A^{\prime }& \stackrel{}{⟶}& B^{\prime }& \stackrel{}{⟶}& C^{\prime }& \stackrel{}{⟶}& 0& \end{array}$

   kommutiert das Diagramm

   $\begin{array}{cccc}{R}^{n}F(C)& \stackrel{{\delta }^n}{⟶}& R^{n+1}F(A)& \\ \downarrow & & \downarrow & \\ R^{n}F(C^{\prime })& \stackrel{{\delta }^n}{⟶}& R^{n+1}F(A^{\prime })& .\end{array}$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen