Abelsche Kategorie/Genügend Injektive/Rechtsabgeleiteter Funktor/Kurze exakte Sequenz/Azyklisches Objekt in Mitte/Fakt

Es seien ${}{\mathcal {A}}$ und ${}{\mathcal {B}}$ abelsche Kategorien und ${}{\mathcal {A}}$ habe genügend viele injektive Objekte. Es sei ${}F\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}$ ein kovarianter additiver linksexakter Funktor. Es sei ${}A$ ein Objekt aus ${}{\mathcal {A}}$ und es sei

$0\longrightarrow A\longrightarrow Z$

exakt mit einem azyklischen Objekt ${}Z$.

Dann ist

${}R^{1}F(A)=F(Z/A)/\operatorname {bild} {\left(F(Z)\right)}\,$

und

${}R^{n}F(A)=R^{n-1}F(Z/A)\,$

für ${}n\geq 2$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen