Abelsche Kategorien/Linksexakter Funktor/Derivierte Funktoren/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es seien und abelsche Kategorien und habe genügend viele injektive Objekte. Es sei

ein kovarianter additiver linksexakter Funktor. Der -te rechtsabgeleitete Funktor

() ist folgendermaßen definiert: Für ein Objekt nimmt man eine injektive Auflösung von und setzt

und für einen Homomorphismus in nimmt man eine Fortsetzung (wobei eine injektive Auflösung von ist) und setzt

mit dem induzierten Homomorphismus auf der Homologie im Sinne von Fakt.



Satz  

Es seien und abelsche Kategorien und habe genügend viele injektive Objekte. Es sei ein kovarianter additiver linksexakter Funktor und es bezeichne die rechtsabgeleiteten Funktoren. Dann gelten folgende Eigenschaften

  1. Die sind wohldefinierte additive Funktoren von nach .
  2. Es liegt ein natürlicher Isomorphismus vor.
  3. Zu jeder kurzen exakten Sequenz

    in und jedem gibt es natürliche Verbindungshomomorphismen

    derart, dass ein exakter Komplex

    in vorliegt.

  4. Zu einem Homomorphismus von exakten Sequenzen

    kommutiert das Diagramm

Beweis  

  1. Die Wohldefiniertheit, also die Unabhängigkeit von der gewählten injektiven Auflösung, zeigen wir den Fall, dass die Kategorie der -Moduln ist, der Formulierungsaufwand im allgemeinen Fall ist etwas größer. Es seien

    und

    injektive Auflösungen zu einem Modul . Dann gibt es nach Fakt Homomorphismen von Kettenkomplexen

    und

    Dabei sind die Hintereinanderschaltungen und nach Fakt homotop zur Identität auf bzw. auf . Dies gilt nach Fakt auch für die zugehörigen Homomorphismen auf den Komplexen bzw. . D.h. für die induzierten Homomorphismen auf den Homologien gilt, dass die Verknüpfung

    die Identität ist. Somit sind die kanonische Isomorphismen.

    Die Additivität gilt nach Fakt stets in der Homologie.

  2. Es sei eine injektive Auflösung des Objektes . Die -te Homologie des Komplexes

    ist einfach der Kern des Homomorphismus

    Wegen der Linksexaktheit von ist dieser Kern aber gleich .

  3. Nach Fakt gibt es ein kommutatives Diagramm

    mit exakten Zeilen und Spalten. Da die einzelnen Zeilen (bis auf die Ausgangssequenz) spalten, erhält man für jedes eine kurze exakte Sequenz

    Es liegt somit ein kommutatives Diagramm

    mit exakten Zeilen vor. In einer solchen Situation gibt es nach Fakt einen Homomorphismus vom Kern von in den Kern von und somit auch nach . Dabei geht das Bild von auf und somit induziert dies einen Homomorphismus

  4. Siehe Aufgabe.


Die Abbildung nennt man auch den verbindenden Homomorphismus



Satz  

Es seien und abelsche Kategorien und habe genügend viele injektive Objekte. Es sei ein kovarianter additiver linksexakter Funktor.

Dann gilt für jedes injektive Objekt aus und für die rechtsabgeleiteten Funktoren .

Beweis  

Dies ergibt sich unmittelbar, da wir mit der injektiven Auflösung

arbeiten können.



Definition  

Es seien und abelsche Kategorien und habe genügend viele injektive Objekte. Es sei ein kovarianter additiver linksexakter Funktor. Ein Objekt aus heißt azyklisch (bezüglich ), wenn für jedes für die rechtsabgeleiteten Funktoren die Beziehung gilt.

Nach Fakt ist ein injektives Objekt azyklisch.



Korollar  

Es seien und abelsche Kategorien und habe genügend viele injektive Objekte. Es sei ein kovarianter additiver linksexakter Funktor. Es sei ein Objekt aus und es sei

exakt mit einem azyklischen Objekt .

Dann ist

und

für .

Beweis  

Wir betrachten die kurze exakte Sequenz

Die Behauptungen folgen aus der langen exakten Sequenz, da ja die mittleren Terme nach Voraussetzung sind.