Ableitungsoperator/Polynome/Beschränkter Grad/Eigenräume/Nilpotenz/Aufgabe

Es sei ${}d\in \mathbb {N}$ fixiert. Es sei ${}\mathbb {R} [X]_{\leq d}$ der ${}\mathbb {R}$-Vektorraum aller Polynome, die maximal den Grad ${}d$ besitzen. Wir betrachten die lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} [X]_{\leq d}\longrightarrow \mathbb {R} [X]_{\leq d},\,P\longmapsto P',$

die durch den Ableitungsoperator gegeben ist (es wird also ${}X^{i}$ für ${}i\geq 1$ auf ${}iX^{i-1}$ abgebildet, die konstanten Polynome gehen auf ${}0$).

a) Bestimme die Eigenräume von ${}\varphi$.

b) Erstelle die beschreibende Matrix zu ${}\varphi$ bezüglich der Basis ${}X^{0},X^{1},X^{2},\ldots ,X^{d}$.

c) Zeige, dass ${}\varphi$ nilpotent ist.

Zur Lösung, Alternative Lösung erstellen