Ableitungsoperator/Polynome/Beschränkter Grad/Eigenräume/Nilpotenz/Aufgabe/Lösung

a) Die konstanten Polynome gehen unter ${}\varphi$ auf ${}0$, und kein Polynom von positivem Grad geht auf ${}0$. Daher ist

${}\operatorname {Eig} _{0}{\left(\varphi \right)}=\operatorname {kern} \varphi =\mathbb {R} \cdot 1\,.$

Es gibt keine weiteren Eigenvektoren, da jedes Polynom ${}P$ vom Grad ${}i\geq 1$ auf ein Polynom vom Grad ${}i-1$ abgebildet wird, und daher ${}\varphi (P)=P'$ nicht ein skalares Vielfaches von ${}P$ sein kann.

b) Die beschreibende Matrix bezüglich der Variablenbasis ist

${\begin{pmatrix}0&1&0&\ldots &\ldots &0\\0&0&2&0&\ldots &0\\0&0&0&3&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&0&d\\0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}}.$

c) Da ${}\varphi$ den Grad um ${}1$ reduziert und konstante Polynome auf ${}0$ abbildet, ist die Abbildung nilpotent.

Zur gelösten Aufgabe