Absolute Homogenität

Einleitung

Der Lerneinheit behandelt die absolute Homogenität, die als Eigenschaft von Normen, Halbnormen oder auch Quasihalbnormen auftritt.

Inhalt

In dieser Lerneinheit werden wir uns mit der Eigenschaft der absoluten Homogenität beschäftigen, die eine wichtige Rolle in der Funktionalanalysis bzw. allgemein für Anwendungen in verschiedenen Bereichen der Mathematik und Physik haben.

Normen

Eine Norm auf einem Vektorraum $V$ ist eine Funktion $\|\cdot \|:V\to \mathbb {R} _{o}^{+}$ , die die folgenden Eigenschaften erfüllt:

(N1) Nicht-Negativität: $\|v\|\geq 0$ für alle $v\in V$ .
(N2) Absolute Homogenität: $\|\alpha \cdot v\|=|\alpha |\cdot \|v\|$ für alle $v\in V$ und alle $\alpha \in \mathbb {R}$ (oder $\mathbb {C}$ ).
(N3) Dreiecksungleichung: $\|v+w\|\leq \|v\|+\|w\|$ für alle $v,w\in V$ .

Halbnormen

Eine Halbnorm auf einem Vektorraum $V$ ist eine Funktion $p:V\to \mathbb {R}$ , die die folgenden Eigenschaften erfüllt:

(HN1) Nicht-Negativität: $p(v)\geq 0$ für alle $v\in V$ .
(HN2) Absolute Homogenität: $p(\alpha \cdot v)=|\alpha |\cdot p(v)$ für alle $v\in V$ und alle $\alpha \in \mathbb {R}$ (oder $\mathbb {C}$ ).
(HN3) Dreiecksungleichung: $p(v+w)\leq p(v)+p(w)$ für alle $v,w\in V$ .

Quasihalbnormen

Eine Quasihalbnorm auf einem Vektorraum $V$ ist eine Funktion $q:V\to \mathbb {R}$ , die die folgenden Eigenschaften erfüllt:

(QN1) Nicht-Negativität: $q(v)\geq 0$ für alle $v\in V$ .
(QN2) Absolute Homogenität: $q(\alpha \cdot v)=|\alpha |\cdot q(v)$ für alle $v\in V$ und alle $\alpha \in \mathbb {R}$ (oder $\mathbb {C}$ ).
(QN3) Quasi-Dreiecksungleichung: Es gibt eine Konstante $C\geq 1$ , so dass $q(v+w)\leq C(q(v)+q(w))$ für alle $v,w\in V$ .

Definition - Absolute Homogenität

Eine Funktion $f:V\to \mathbb {R}$ auf einem Vektorraum $V$ heißt absolut homogen, wenn für alle $v\in V$ und alle $\alpha \in \mathbb {R}$ (oder $\mathbb {C}$ ) gilt:

f(\alpha \cdot v)=|\alpha |\cdot f(v)

Eigenschaften:

Für ein gegebenes lineare Funktional $g:V\to \mathbb {K}$ ist der Betrag $f:=|g|$ ein absolut homogenes Funktional.

Eigenschaft 1 - Skalierung

Allgemein skaliert die Funktion $f$ linear mit dem Betrag des Skalars $\alpha$ .

Eigenschaft 2 - Unabhängigkeit vom Vorzeichen

Die Funktion ist unabhängig vom Vorzeichen des Skalars $\alpha \in \mathbb {R}$ bzw. des Winkel einer komplexen Zahl $\alpha =\alpha _{1}+i\alpha _{2}\in \mathbb {C}$ , da der Betrag $|\alpha |$ verwendet wird.

Beispiel: Betrachten wir die Funktion $p(v)=|v|$ auf dem Vektorraum $\mathbb {R}$ . Diese Funktion ist absolut homogen, da:

p(\alpha v)=|\alpha v|=|\alpha ||v|=|\alpha |p(v)

Anwendungen - Halbnormen

Halbnormen werden verwendet, um Abstände in Vektorräumen zu messen, ohne die strikte Bedingung der Definitheit (d.h., $p(v)=0$ impliziert $v=0_{_{V}}$ ) zu erfüllen. Sie sind nützlich in der Funktionalanalysis und speziell in der Theorie der Banachräume bzw. Banachalgebren.

Anwendungen - Quasihalbnormen

Quasihalbnormen sind eine Verallgemeinerung von Halbnormen, die eine schwächere Form der Dreiecksungleichung erfüllen. Sie finden Anwendung in der Theorie der Fréchet-Räume und in der Analysis von Funktionenräumen.

Übungsaufgabe 1

Überprüfe, ob die folgende Funktion $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ eine Halbnorm ist:

f(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}

Übungsaufgabe 2

Zeige, dass die Funktion $q:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ definiert durch $q(x,y)=|x|+|y|$ eine Quasihalbnorm ist.

Übungsaufgabe 3

Überprüfen Sie als Beispiel die folgende Funktion $f:{\mathfrak {P}}^{p}(\mathbb {R} )\to \mathbb {R} _{o}^{+}$ , ob diese mit $0<p<1$ absolut homogen ist. Zeigen Sie, dass $f$ aber keine Halbnorm ist.

{\mathfrak {P}}^{p}(\mathbb {R} ):=\left\{(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\,:\,\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p^{n}}<\infty \right\}

.

Die Funktion $f{\big (}(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }{\big )}:=p_{_{U}}{\big (}(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }{\big )}$ ist als Minkowski-Funktional wie folgt definiert:

U:=\left\{(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\,:\,\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p^{n}}<1\right\}

Zeigen Sie dazu, dass $U$ kreisförmig ist, denn dann ist das Minkowski-Funktional automatisch absolut homogen.

Siehe auch