Achsenkreuz/Komponente/Reflexiver Modul/Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper und sei

${}R=K[X,Y]/(XY)\,.$

Es sei  ${}I=(X)$  das von ${}X$ erzeugte Hauptideal. Dabei liegt eine kurze exakte Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,(Y)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,R\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,I\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

vor, da ${}(Y)$ der Annullator von ${}I$ ist. Es ist

${}{I}^{*}=\operatorname {Hom} _{R}{\left(I,R\right)}={\left\{f:R\rightarrow R\mid f(Y)=0\right\}}\cong R/(Y)\,.$

Dies bedeutet, dass

${}I\cong R/(Y)\,$

isomorph zu seinem dualen Modul und insbesondere reflexiv ist. Dieser Modul ist nicht frei, da er im maximalen Ideal ${}(X,Y)$ nicht isomorph zu ${}R$ ist.