Additive Gruppe/C^2/Addition/Bahnen/Aufgabe/Lösung

a) Für  ${}z=0$  liegt offenbar die Identität vor. Für  ${}z_{1},z_{2}\in {\mathbb {C} }$  ist

${}{\left(z_{1}+z_{2}\right)}\bullet {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+z_{1}+z_{2}\\y\end{pmatrix}}=z_{1}\bullet {\begin{pmatrix}x+z_{2}\\y\end{pmatrix}}=z_{1}\bullet {\left(z_{2}\bullet {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\right)}\,.$

b) Die Operation ist nicht linear, da bei einer linearen Operation der Nullpunkt auf sich selbst abgebildet wird, hier aber

${}1\bullet {\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\,$

gilt.

c) Die Bahn zu jedem Punkt ${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$ ist ${}{\left\{{\begin{pmatrix}x+z\\y\end{pmatrix}}\mid z\in {\mathbb {C} }\right\}}$, also einfach die Menge ${}{\mathbb {C} }\times \{y\}$.

d) Sämtliche Isotropiegruppen sind trivial, da aus

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+z\\y\end{pmatrix}}\,$

sofort  ${}z=0$ 

folgt.

Zur gelösten Aufgabe