Additive Gruppe/C^2/Addition/Bahnen/Invariantenring/Quotientenabbildung nicht abgeschlossen/Aufgabe

Wir betrachten die Operation der additiven Gruppe  ${}G={\left({\mathbb {C} },0,+\right)}$  auf ${}{\mathbb {C} }^{2}$ durch

${}z\bullet {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+z\\y\end{pmatrix}}\,$

und die zugehörige Operation auf dem Polynomring ${}{\mathbb {C} }[X,Y]$.
a) Zeige, dass eine Operation vorliegt.
b) Zeige, dass die Operation nicht linear ist.
c) Bestimme die Bahnen der Operation. Skizziere die (reelle) Situation.
d) Welche Untergruppen treten als Isotropiegruppen auf?
e) Bestimme den Invariantenring ${}{\mathbb {C} }[X,Y]^{G}$.
f) Zeige, dass die Abbildung in den Bahnenraum nicht abgeschlossen ist (wobei der ${}{\mathbb {C} }^{2}$ in der natürlichen Topologie und der Bahnenraum mit der Quotiententopologie versehen ist).

Zur Lösung, Alternative Lösung erstellen