Additive Gruppe/C^2/Addition/Bahnen/Invariantenring/Quotientenabbildung nicht abgeschlossen/Aufgabe/Lösung

a) Für ${}z=0$ liegt offenbar die Identität vor. Für ${}z_{1},z_{2}\in {\mathbb {C} }$ ist

{}{\left(z_{1}+z_{2}\right)}\bullet {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+z_{1}+z_{2}\\y\end{pmatrix}}=z_{1}\bullet {\begin{pmatrix}x+z_{2}\\y\end{pmatrix}}=z_{1}\bullet {\left(z_{2}\bullet {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\right)}\,.

b) Die Operation ist nicht linear, da bei einer linearen Operation der Nullpunkt auf sich selbst abgebildet wird, hier aber

{}1\bullet {\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\,

gilt.
c) Die Bahn zu jedem Punkt ${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$ ist ${}{\left\{{\begin{pmatrix}x+z\\y\end{pmatrix}}\mid z\in {\mathbb {C} }\right\}}$ , also einfach die Menge ${}{\mathbb {C} }\times \{y\}$ .
d) Sämtliche Isotropiegruppen sind trivial, da aus

{}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+z\\y\end{pmatrix}}\,

sofort ${}z=0$ folgt.
e) Das Polynom ${}Y$ ist offenbar invariant. Wir behaupten, dass nur Polynome in ${}Y$ invariant sind, der Invariantenring ist also ${}{\mathbb {C} }[Y]$ . Wir schreiben ein Polynom in der Form

{}Q=P_{d}(Y)X^{d}+\cdots +P_{1}(Y)X+P_{0}(Y)\,,

wobei in den ${}P_{i}$ nur ${}Y$ vorkomme und ${}P_{d}(Y)\neq 0$ und ${}d\geq 1$ sei. Es sei ${}y_{0}\in {\mathbb {C} }$ mit ${}P_{d}(y_{0})\neq 0$ . Dann liegt ein Polynom

{}Q(X,y_{0})=P_{d}(y_{0})X^{d}+\cdots +P_{1}(y_{0})X+P_{0}(y_{0})\,

in der einen Variablen ${}X$ vor. Wenn man darin ${}X$ durch ${}X+z$ ersetzt, so kann nur für endlich viele Polynome das gleiche Polynom rauskommen, und nicht für alle ${}z$ . Solche Polynome sind also nicht invariant.
f) Die Quotientenabbildung kann man direkt durch die zweite Projektion