Additive Gruppe/C^2/Rational/Bahnen/Isotropie/Invariantenring/Aufgabe

Wir betrachten die ${}{\mathbb {C} }$-rationale Operation der additiven Gruppe

${}G={\left({\mathbb {C} },0,+\right)}\,$

auf ${}{\mathbb {C} }^{2}$ durch

${}z\bullet {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&z\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+zy\\y\end{pmatrix}}\,$

und die zugehörige Operation auf dem Polynomring ${}{\mathbb {C} }[X,Y]$.

1. Bestimme die Bahnen der Operation. Skizziere die (reelle) Situation.
2. Welche Untergruppen treten als Isotropiegruppen auf?
3. Bestimme den Invariantenring ${}{\mathbb {C} }[X,Y]^{G}$.

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