Additive Gruppe/C^2/Rational/Bahnen/Isotropie/Invariantenring/Aufgabe/Lösung

a) Die Bahn zu jedem Punkt ${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$ ist ${}{\left\{{\begin{pmatrix}x+zy\\y\end{pmatrix}}\mid z\in {\mathbb {C} }\right\}}$. Bei  ${}y=0$  besteht die Bahn allein aus ${}{\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}}$. Bei  ${}y\neq 0$  kann in der ersten Komponente jeden Punkt erreichen, die Bahn ist also einfach die Menge ${}{\mathbb {C} }\times \{y\}$.

b) Bei den Punkten ${}{\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}}$ mit einer einpunktigen Bahn ist die Isotropiegruppe gleich ${}{\mathbb {C} }$, bei ${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$ mit  ${}y\neq 0$  ist die Isotropiegruppe trivial, da aus

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+yz\\y\end{pmatrix}}\,$

direkt  ${}z=0$  folgt.

c) Das Polynom ${}Y$ ist offenbar invariant. Wir behaupten, dass nur Polynome in ${}Y$ invariant sind, der Invariantenring ist also ${}{\mathbb {C} }[Y]$. Wir schreiben ein Polynom in der Form

${}Q=P_{d}(Y)X^{d}+\cdots +P_{1}(Y)X+P_{0}(Y)\,,$

wobei in den ${}P_{i}$ nur ${}Y$ vorkomme und  ${}P_{d}(Y)\neq 0$  und  ${}d\geq 1$  sei. Es sei  ${}y_{0}\in {\mathbb {C} }\setminus \{0\}$  mit  ${}P_{d}(y_{0})\neq 0$.  Dann liegt ein Polynom

${}Q(X,y_{0})=P_{d}(y_{0})X^{d}+\cdots +P_{1}(y_{0})X+P_{0}(y_{0})\,$

in der einen Variablen ${}X$ vor. Wenn man darin ${}X$ durch ${}X+y_{0}z$ ersetzt, so kann nur für endlich viele Polynome das gleiche Polynom rauskommen, und nicht für alle ${}z$. Solche Polynome sind also nicht invariant.

Zur gelösten Aufgabe