Additive Gruppe/Charakteristik p/Lineare Untergruppe/Aufgabe/Lösung

Es ist  ${}\mathbb {Z} /(p)\subseteq K$  eine Untergruppe. Wir behaupten, dass sie durch die polynomiale Gleichung  ${}X^{p}=X$  beschrieben wird.  ${}x=0$  erfüllt diese Gleichung. Für  ${}x\in \mathbb {Z} /(p)$  mit  ${}x\neq 0$  ist ${}x$ eine Einheit. Die Einheitengruppe von ${}\mathbb {Z} /(p)$ besitzt ${}p-1$ Elemente, also ist nach dem Satz von Lagrange

${}x^{p-1}=1\,,$

also ebenfalls

${}x^{p}=x\,.$

Die Elemente aus ${}\mathbb {Z} /(p)$ erfüllen also die Gleichung. Da das Polynom den Grad ${}p$ besitzt, kann es nach Fakt

auch nicht mehr Lösungen in ${}K$ geben.

Zur gelösten Aufgabe