Adjungierter Endomorphismus/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es sei ein -Vektorraum mit Skalarprodukt und

ein Endomorphismus. Man nennt einen Endomorphismus

adjungiert zu , wenn

für alle gilt.


Beispiel  

Zu einer Isometrie

auf einem euklidischen Vektorraum ist die Umkehrabbildung der adjungierte Endomorphismus. Es ist ja in diesem Fall



Beispiel  

Zu einer Streckung auf einem -Vektorraum mit Skalarprodukt mit dem Streckungsfaktor ist die Streckung mit dem Streckungsfaktor die adjungierte Abbildung. Es ist ja



Beispiel  

Die lineare Abbildung

besitze eine Orthonormalbasis (bezüglich des Standardskalarproduktes) aus Eigenvektoren, d.h. die beschreibende Matrix besitzt die Diagonalgestalt

Dann wird der adjungierte Endomorphismus durch die komplex-konjugierte Matrix

beschrieben. Es ist ja einerseits

und andererseits

Bei ist dies beides gleich und bei steht beidseitig .




Lemma  

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit Skalarprodukt und sei

ein Endomorphismus.

Dann existiert der adjungierte Endomorphismus zu und ist eindeutig bestimmt.

Beweis  

Es sei

gegeben und fixiert. Dann ist die Abbildung

eine Linearform auf . Daher gibt es (nach Fakt im reellen Fall, für den komplexen Fall siehe Aufgabe) einen durch und eindeutig bestimmten Rechtsgradienten aus mit

Wir müssen zeigen, dass die Zuordnung

linear ist. Es ist

Da dies für alle gilt, muss

sein. Ferner ist

Da dies für alle gilt, ist


Wie im Beweis dieses Satzes wird der adjungierte Endomorphismus mit bezeichnet. Wenn man die Zuordnung, die einem Vektor die Linearform zuordnet, mit bezeichnet, so ist

wobei

die duale Abbildung bezeichnet.



Lemma  

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit Skalarprodukt . Es sei

ein Endomorphismus, der bezüglich der Orthonormalbasis durch die Matrix beschrieben werde.

Dann wird der adjungierte Endomorphismus bezüglich dieser Basis durch die Matrix beschrieben.

Beweis  

Es sei die Orthonormalbasis und es seien

bzw.

die Matrizen von bzw. bezüglich dieser Basis. Dann ist insbesondere

und

Aufgrund der Adjungiertheit gilt die Beziehung

D.h.

und umgekehrt.



Lemma

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit Skalarprodukt . Dann erfüllt der adjungierte Endomorphismus folgende Eigenschaften (dabei seien Endomorphismen).

Beweis

Siehe Aufgabe.