Adjungierter Endomorphismus/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein Endomorphismus. Man nennt einen Endomorphismus

$\psi \colon V\longrightarrow V$

adjungiert zu ${}\varphi$, wenn

${}\left\langle \varphi (v),w\right\rangle =\left\langle v,\psi (w)\right\rangle \,$

für alle ${}v,w\in V$ gilt.

Beispiel

Zu einer Isometrie

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

auf einem euklidischen Vektorraum ist die Umkehrabbildung ${}\varphi ^{-1}$ der adjungierte Endomorphismus. Es ist ja in diesem Fall

${}\left\langle \varphi (v),w\right\rangle =\left\langle \varphi ^{-1}(\varphi (v)),\varphi ^{-1}(w)\right\rangle =\left\langle v,\varphi ^{-1}(w)\right\rangle \,.$

Beispiel

Zu einer Streckung ${}V\rightarrow V$ auf einem ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum ${}V$ mit Skalarprodukt mit dem Streckungsfaktor ${}s\in {\mathbb {K} }$ ist die Streckung mit dem Streckungsfaktor ${}{\overline {s}}$ die adjungierte Abbildung. Es ist ja

${}\left\langle sv,w\right\rangle =s\left\langle v,w\right\rangle ={\overline {\overline {s}}}\left\langle v,w\right\rangle =\left\langle v,{\overline {s}}w\right\rangle \,.$

Beispiel

Die lineare Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{n}$

besitze eine Orthonormalbasis (bezüglich des Standardskalarproduktes) ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ aus Eigenvektoren, d.h. die beschreibende Matrix besitzt die Diagonalgestalt

${\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&\lambda _{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\lambda _{n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda _{n}\end{pmatrix}}.$

Dann wird der adjungierte Endomorphismus durch die komplex-konjugierte Matrix

${}\psi ={\begin{pmatrix}{\overline {\lambda }}_{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&{\overline {\lambda }}_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&{\overline {\lambda }}_{n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&{\overline {\lambda }}_{n}\end{pmatrix}}\,$

beschrieben. Es ist ja einerseits

${}\left\langle \varphi (u_{i}),u_{j}\right\rangle =\left\langle \lambda _{i}u_{i},u_{j}\right\rangle =\lambda _{i}\left\langle u_{i},u_{j}\right\rangle \,$

und andererseits

${}\left\langle u_{i},\psi (u_{j})\right\rangle =\left\langle u_{i},{\overline {\lambda _{j}}}u_{j}\right\rangle =\lambda _{j}\left\langle u_{i},u_{j}\right\rangle \,.$

Bei ${}i\neq j$ ist dies beides gleich ${}0$ und bei ${}i=j$ steht beidseitig ${}\lambda _{i}$.

Lemma

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein Endomorphismus.

Dann existiert der adjungierte Endomorphismus zu ${}\varphi$ und ist eindeutig bestimmt.

Beweis

Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

gegeben und ${}w\in V$ fixiert. Dann ist die Abbildung

$V\longrightarrow {\mathbb {K} },\,v\longmapsto \left\langle \varphi (v),w\right\rangle ,$

eine Linearform auf ${}V$. Daher gibt es (nach Fakt im reellen Fall, für den komplexen Fall siehe Aufgabe) einen durch ${}\varphi$ und ${}w$ eindeutig bestimmten Rechtsgradienten ${}r={\hat {\varphi }}(w)$ aus ${}V$ mit

${}\left\langle v,{\hat {\varphi }}(w)\right\rangle =\left\langle \varphi (v),w\right\rangle \,.$

Wir müssen zeigen, dass die Zuordnung

$w\longmapsto {\hat {\varphi }}(w)$

linear ist. Es ist

${}{\begin{aligned}\left\langle v,{\hat {\varphi }}(w_{1}+w_{2})\right\rangle &=\left\langle \varphi (v),w_{1}+w_{2}\right\rangle \\&=\left\langle \varphi (v),w_{1}\right\rangle +\left\langle \varphi (v),w_{2}\right\rangle \\&=\left\langle v,{\hat {\varphi }}(w_{1})\right\rangle +\left\langle v,{\hat {\varphi }}(w_{2})\right\rangle \\&=\left\langle v,{\hat {\varphi }}(w_{1})+{\hat {\varphi }}(w_{2})\right\rangle .\end{aligned}}$

Da dies für alle ${}v\in V$ gilt, muss

${}{\hat {\varphi }}(w_{1}+w_{2})={\hat {\varphi }}(w_{1})+{\hat {\varphi }}(w_{2})\,$

sein. Ferner ist

${}{\begin{aligned}\left\langle v,{\hat {\varphi }}(sw)\right\rangle &=\left\langle \varphi (v),sw\right\rangle \\&={\overline {s}}\left\langle \varphi (v),w\right\rangle \\&={\overline {s}}\left\langle v,{\hat {\varphi }}(w)\right\rangle \\&=\left\langle v,s{\hat {\varphi }}(w)\right\rangle .\end{aligned}}$

Da dies für alle ${}v\in V$ gilt, ist

${}{\hat {\varphi }}(sw)=s{\hat {\varphi }}(w)\,.$

$\Box$

Wie im Beweis dieses Satzes wird der adjungierte Endomorphismus mit ${}{\hat {\varphi }}$ bezeichnet. Wenn man die Zuordnung, die einem Vektor ${}w\in V$ die Linearform ${}v\mapsto \left\langle v,w\right\rangle$ zuordnet, mit ${}\Theta$ bezeichnet, so ist

${}{\hat {\varphi }}=\Theta ^{-1}\circ {\varphi }^{*}\circ \Theta \,,$

wobei

${\varphi }^{*}\colon {V}^{*}\longrightarrow {V}^{*}$

die duale Abbildung bezeichnet.

Lemma

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein Endomorphismus, der bezüglich der Orthonormalbasis ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ durch die Matrix ${}M$ beschrieben werde.

Dann wird der adjungierte Endomorphismus ${}{\hat {\varphi }}$ bezüglich dieser Basis durch die Matrix ${}{{\overline {M}}^{\text{tr}}}$ beschrieben.

Beweis

Es sei ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ die Orthonormalbasis und es seien

${}M=(a_{ij})_{ij}\,$

bzw.

${}N=(b_{ij})_{ij}\,$

die Matrizen von ${}\varphi$ bzw. ${}{\hat {\varphi }}$ bezüglich dieser Basis. Dann ist insbesondere

${}\varphi (u_{i})=\sum _{k=1}^{n}a_{ki}u_{k}\,$

und

${}{\hat {\varphi }}(u_{i})=\sum _{k=1}^{n}b_{ki}u_{k}\,.$

Aufgrund der Adjungiertheit gilt die Beziehung

${}{\begin{aligned}a_{ji}&=\sum _{k=1}^{n}a_{ki}\left\langle u_{k},u_{j}\right\rangle \\&=\left\langle \sum _{k=1}^{n}a_{ki}u_{k},u_{j}\right\rangle \\&=\left\langle \varphi (u_{i}),u_{j}\right\rangle \\&=\left\langle u_{i},{\hat {\varphi }}(u_{j})\right\rangle \\&=\left\langle u_{i},\sum _{k=1}^{n}b_{kj}u_{k}\right\rangle \\&=\left\langle u_{i},b_{ij}u_{i}\right\rangle \\&={\overline {b_{ij}}}.\end{aligned}}$

D.h.

${}{{\overline {N}}^{\text{tr}}}=M\,$

und umgekehrt.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Dann erfüllt der adjungierte Endomorphismus folgende Eigenschaften (dabei seien ${}\varphi .\psi$ Endomorphismen).

1. ${}{\left(\varphi +\psi \right)}^{\hat {}}={\hat {\varphi }}+{\hat {\psi }}\,.$

2. ${}{\left(s\varphi \right)}^{\hat {}}={\overline {s}}{\hat {\varphi }}\,.$

3. ${}{\left({\hat {\varphi }}\right)}^{\hat {}}=\varphi \,.$

4. ${}{\left(\varphi \circ \psi \right)}^{\hat {}}={\hat {\psi }}\circ {\hat {\varphi }}\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$