Affin-algebraische Mengen/Isomorphe Algebren und Nullstellengebilde/Polynomring in einer Variablen als Gerade, eingebettete Gerade und Graph/Beispiel

Wir betrachten den Polynomring in einer Variablen $R = K [T]$ . Ihm entspricht zunächst die affine Gerade $𝔸_{K}^{1}$ . Man kann $R$ aber auch auf ganz verschiedene Arten als Restklassenring einer Polynomalgebra in mehreren Variablen erhalten. Es sei beispielsweise $a \in K$ , $a \neq 0$ ; wir betrachten den Restklassenring $K [X, Y] / (a Y + b X)$ . Dieser Ring ist (als $K$ -Algebra) isomorph zu $R$ , wie die Abbildung

K [X, Y] / (a Y + b X) ⟶ K [T], X ⟼ T, Y ⟼ - \frac{b}{a} T,

zeigt. Das zugehörige Nullstellengebilde $V (a Y + b X) \subset 𝔸_{K}^{2}$ ist einfach die Gerade in der affinen Ebene, die durch die Gleichung $Y = - \frac{b}{a} X$ beschrieben wird.

Eine weitere Möglichkeit, den Polynomring in einer Variablen als Restklassenring darzustellen, ist durch $K [X, Y] / (Y - P (X))$ gegeben, wobei $P (X)$ ein beliebiges Polynom in der einen Variablen $X$ ist. Der Ringhomomorphismus

K [X, Y] / (Y - P (X)) ⟶ K [T], X ⟼ T, Y ⟼ P (T),

zeigt, dass wieder ein Isomorphismus zum Polynomring in einer Variablen vorliegt. Das zugehörige Nullstellengebilde ist einfach der Graph des Polynoms $P (X)$ .