Affin-algebraische Mengen/Isomorphe Algebren und Nullstellengebilde/Polynomring in einer Variablen als Gerade, eingebettete Gerade und Graph/Beispiel

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Wir betrachten den Polynomring in einer Variablen . Ihm entspricht zunächst die affine Gerade . Man kann aber auch auf ganz verschiedene Arten als Restklassenring einer Polynomalgebra in mehreren Variablen erhalten. Sei beispielsweise , , und betrachte den Restklassenring . Dieser Ring ist (als -Algebra) isomorph zu , wie die Abbildung

zeigt. Das zugehörige Nullstellengebilde ist einfach die Gerade in der affinen Ebene, die durch die Gleichung beschrieben wird.

Eine weitere Möglichkeit, den Polynomring in einer Variablen als Restklassenring darzustellen, ist durch gegeben, wobei ein beliebiges Polynom in der einen Variablen ist. Der Ringhomomorphismus

zeigt, dass wieder ein Isomorphismus zum Polynomring in einer Variablen vorliegt. Das zugehörige Nullstellengebilde ist einfach der Graph des Polynoms .

Lineline.jpg
Lineair-cartesiaans.png
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