Affine Gerade/Punktspiegelung/Fixpunkte/Aufgabe/Lösung

Die Primideale in ${}K[T]$ sind das Nullideal und die Primhauptideale

${}{\mathfrak {p}}=(F)\,,$

wobei ${}F$ ein irrduzibles Polynom ist. Das Nullideal ist ein Fixpunkt, da ja bei jedem Ringautomorphismus das Urbild der ${}0$ die ${}0$ ist. Das Urbild von ${}(F)$ zum angegebenen (nichttrivialen) Automorphismus ist ${}(F{\frac {-T}{T}})$, in ${}F$ wird also überall ${}T$ durch ${}-T$ ersetzt. Wenn in ${}F$ nur Potenzen von ${}T$ mit einem geraden Exponenten vorkommen, so wird dieses Primideal auf sich selbst abgebildet und ist ein Fixpunkt. Das Primideal ${}(T)$ wird auf ${}(-T)$, also auf sich selbst abgebildet, und ist ebenfalls ein Fixpunkt. Wir behaupten, dass es keine weiteren Fixpunkte gibt. Die Fixpunktbedingugn kann man als

${}F{\frac {-T}{T}}=uF\,$

schreiben, wobei ${}u$ eine Einheit, also eine Konstante ${}\neq 0$ ist. Wenn in ${}F$ der konstante Term gleich ${}0$ ist, so muss wegen der Primeigenschaft  ${}(F)=(T)$  sein. Der konstante Term ist also nicht ${}0$. Dann impliziert die Bedingung, dass  ${}u=1$ 

ist. Doch dann kann die Bedingung nur erfüllt sein, wenn nur Potenzen mit geraden Exponenten vorkommen.

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