Affine Quadriken in zwei Variablen/Fünf Punkte/Es gibt Quadrik/Fakt/Beweis

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Beweis

Jede Quadrik hat die Gestalt

mit Koeffizienten . Die Aussage beruht darauf, dass man hier sechs freie Variablen hat, denen fünf Bedingungen gegenüber stehen. Für die fünf Punkte ergeben sich die fünf Bedingungen

  1. .

Das sind fünf lineare Bedingungen in den sechs Variablen (hier sind also die griechischen Buchstaben die Variablen, nicht und ). Dafür gibt es eine nicht-triviale Lösung, bei der nicht alle Koeffizenten null sind. Sind in einer gefundenen Lösung , so liegt zunächst die Gleichung einer Geraden, also keine Quadrik vor. Man kann daraus aber durch Multiplikation mit einer weiteren Geradengleichung eine Quadrik erhalten.

Zur bewiesenen Aussage