Beweis
Wir müssen zeigen, dass die konstante Nullfunktion und die konstante Einsfunktion auf
, das Negative einer algebraischen Funktion, und die Summe und das Produkt von zwei algebraischen Funktionen auf
wieder algebraisch sind. Wir beschränken uns auf die Summe der algebraischen Funktionen
und
. Es sei
ein Punkt. Nach Voraussetzung gibt es Polynome
mit
-
und
-
Es sei
. Dann ist
.
Für einene beliebigen Punkt
ist dann
-

was eine polynomiale Darstellung der Summenfunktion in einer Zariski-offenen Umgebung des Punktes
ergibt.