Affine Varietät/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Addition und Multiplikation/bildet Ring/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir müssen zeigen, dass die konstante Nullfunktion und die konstante Einsfunktion auf , das Negative einer algebraischen Funktion, und die Summe und das Produkt von zwei algebraischen Funktionen auf wieder algebraisch sind. Wir beschränken uns auf die Summe der algebraischen Funktionen und . Sei ein Punkt. Nach Voraussetzung gibt es Polynome mit

und

Sei . Dann ist . Für einene beliebigen Punkt ist dann

was eine polynomiale Darstellung der Summenfunktion in einer Zariski-offenen Umgebung des Punktes ergibt.