Affine Varietät/Algebraisch abgeschlossener Körper/Verschiedene rationale Darstellungen einer algebraischen Funktion/Beziehung im Koordinatenring/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $V = V (𝔞) \subseteq 𝔸_{K}^{n}$ eine affin-algebraische Menge, und $U \subseteq V$ eine Zariski-offene Menge. Es sei $P \in V$ ein Punkt und es sei $f : U \to K$ eine algebraische Funktion, für die es die beiden rationalen Darstellungen $\frac{G_{1}}{H_{1}}$ und $\frac{G_{2}}{H_{2}}$ gebe mit $G_{1}, H_{1}, G_{2}, H_{2} \in K [X_{1}, \dots, X_{n}]$ und mit $P \in D (H_{1}), D (H_{2}) \subseteq U$ .

Dann gibt es $r \in ℕ$ mit

$H_{1}^{r} H_{2}^{r} (G_{1} H_{2} - G_{2} H_{1})^{r} = 0 in K [X_{1}, \dots, X_{n}] / 𝔞 .$

Ist $𝔞$ ein Radikalideal, so gilt sogar $H_{1} H_{2} (G_{1} H_{2} - G_{2} H_{1}) = 0$ .

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen