Affine Varietät/Nicht algebraisch abgeschlossen/Eine Gleichung/Aufgabe/Lösung

1. Nach Voraussetzung gibt es ein nichtkonstantes Polynom ${}F$ in einer Variablen ohne Nullstelle in ${}K$. Wir schreiben

   ${}F=\sum _{i=0}^{d}a_{i}X^{i}\,$

   mit  ${}a_{d}\neq 0$,   ${}d\geq 1$.  Wir betrachten die Homogenisierung

   ${}P=\sum _{i=0}^{d}a_{i}X^{i}Y^{d-i}\,.$

   Der Nullpunkt ist davon eine Nullstelle. Es sei ${}(x,y)$ eine Nullstelle. Bei

   ${}y\neq 0\,$

   kann man durch ${}y^{d}$ dividieren und erhält mit ${}x/y$ eine Nullstelle von ${}F$, was es nach Voraussetzung nicht gibt. Es ist also

   ${}y=0\,.$

   Doch dann wäre  ${}a_{0}=0$  und ${}0$ wäre eine Nullstelle des Ausgangspolynoms.

2. Nach dem Hilbertschen Basissatz ist

   ${}V=V{\left(F_{1},\ldots ,F_{r}\right)}\,.$

   Wir zeigen, dass man hierbei zwei Polynome durch eines ersetzen kann, ohne die Nullstellenmenge zu ändern. Durch Induktion über ${}r$ folgt daraus die Aussage. Es sei ${}P$ das Polynom aus Teil (1), und wir betrachten  ${}G=P(F_{1},F_{2})$,  wir ersetzen also die Variablen durch die beiden Polynome. Nach Teil (1) gilt, dass

   ${}{\left(P(F_{1},F_{2})\right)}(x_{1},\ldots ,x_{n})=P(F_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),F_{2}(x_{1},\ldots ,x_{n}))=0\,$

   genau dann ist, wenn

   ${}F_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})=0\,$

   und

   ${}F_{2}(x_{1},\ldots ,x_{n})=0\,$

   gilt. Also ist

   ${}V{\left(F_{1},\ldots ,F_{r}\right)}=V{\left(P(F_{1},F_{2}),F_{3},\ldots ,F_{r}\right)}\,.$

Zur gelösten Aufgabe