Affine Varietäten/Körper/Produkt/Geometrisch/Irreduzibel/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

${}V\times W=Z_{1}\cup Z_{2}\,$

eine Zerlegung in abgeschlossene Teilmengen. Wir betrachten

${}V_{i}={\left\{x\in V\mid x\times W\subseteq Z_{i}\right\}}\,$

für  ${}i=1,2$.  Die Mengen  ${}x\times W\cong W$  sind irreduzibel nach Fakt. Wegen

${}x\times W\subseteq V\times W=Z_{1}\cup Z_{2}\,$

gilt  ${}x\times W\subseteq Z_{1}$  oder  ${}x\times W\subseteq Z_{2}$.  Also ist  ${}V=V_{1}\cup V_{2}$.  Die Mengen ${}V_{i}$ sind abgeschlossen. Wir zeigen dazu, dass das Komplement ${}V\setminus V_{1}$ offen ist. Es sei dazu  ${}x\in V\setminus V_{1}$  und somit  ${}x\times W\not \subseteq Z_{1}$.  Somit gibt es  ${}y\in W$  mit

${}(x,y)\notin Z_{1}\,.$

Da  ${}{\left(V\times y\right)}\cap {\left(V\times W\setminus Z_{1}\right)}\subseteq V\times y\cong V$  nach Fakt offen ist und ${}x$ enthält, gilt auch für ${}(x',y)$ mit ${}x'$ aus einer offenen Umgebung von ${}x$, dass  ${}(x',y)\notin Z_{1}$  und damit

${}x'\times W\not \subseteq Z_{1}\,,$

also  ${}x'\notin V_{1}$.  Wegen der Irreduzibilität von ${}V$ folgt  ${}V_{1}=V$  oder  ${}V_{2}=V$,  also  ${}Z_{1}=V\times W$  oder  ${}Z_{2}=V\times W$. 

Zur bewiesenen Aussage