Affine Varietäten/Körper/Produkt/Geometrisch/Irreduzibel/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

${}V\times W=Z_{1}\cup Z_{2}\,$

eine Zerlegung in abgeschlossene Teilmengen. Wir betrachten

${}V_{i}={\left\{x\in V\mid x\times W\subseteq Z_{i}\right\}}\,$

für ${}i=1,2$. Die Mengen ${}x\times W\cong W$ sind irreduzibel nach Fakt. Wegen

${}x\times W\subseteq V\times W=Z_{1}\cup Z_{2}\,$

gilt ${}x\times W\subseteq Z_{1}$ oder ${}x\times W\subseteq Z_{2}$. Also ist ${}V=V_{1}\cup V_{2}$. Die Mengen ${}V_{i}$ sind abgeschlossen. Wir zeigen dazu, dass das Komplement ${}V\setminus V_{1}$ offen ist. Es sei dazu ${}x\in V\setminus V_{1}$ und somit ${}x\times W\not \subseteq Z_{1}$. Somit gibt es ${}y\in W$ mit

${}(x,y)\notin Z_{1}\,.$

Da ${}{\left(V\times y\right)}\cap {\left(V\times W\setminus Z_{1}\right)}\subseteq V\times y\cong V$ nach Fakt offen ist und ${}x$ enthält, gilt auch für ${}(x',y)$ mit ${}x'$ aus einer offenen Umgebung von ${}x$, dass ${}(x',y)\notin Z_{1}$ und damit

${}x'\times W\not \subseteq Z_{1}\,,$

also ${}x'\notin V_{1}$. Wegen der Irreduzibilität von ${}V$ folgt ${}V_{1}=V$ oder ${}V_{2}=V$, also ${}Z_{1}=V\times W$ oder ${}Z_{2}=V\times W$.

Zur bewiesenen Aussage