Affine Varietäten/Körper/Produkt/Geometrisch/Teilmenge affiner Raum/Fakt

Es seien ${}V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}$ und ${}V({\mathfrak {b}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ affin-algebraische Mengen.

Dann ist

${}V({\mathfrak {a}})\times V({\mathfrak {b}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}\times {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}={{\mathbb {A} }_{K}^{m+n}}\,$

eine affin-algebraische Menge, die durch das Ideal

${\mathfrak {a}}K[X_{1},\ldots ,X_{m},Y_{1},\ldots ,Y_{n}]+{\mathfrak {b}}K[X_{1},\ldots ,X_{m},Y_{1},\ldots ,Y_{n}]$

beschrieben wird.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen