Affine Varietäten/Körper/Produkt/Geometrisch/Teilmenge affiner Raum/Fakt/Beweis

Beweis

Ein Punkt  $P\in V(𝔞)$  ist ein Tupel $(x_1,\dots ,x_m)$, in dem alle Polynome aus  $𝔞\subseteq K[X_1,\dots ,X_m]$  verschwinden. Ein Punkt

$(P,Q)\in V(𝔞)\times V(𝔟)$

ist entsprechend ein Tupel $(x_1,\dots ,x_m;y_1,\dots ,y_n)$, in dem sowohl alle Polynome aus  $𝔞\subseteq K[X_1,\dots ,X_m]$  als auch alle Polynome aus  $𝔟\subseteq K[Y_1,\dots ,Y_n]$  verschwinden, wobei diese Bedingungen jeweils nur vom vorderen bzw. vom hinteren Teiltupel abhängen. Dies ist äquivalent dazu, dass alle Polynome aus

$𝔞K[X_1,\dots ,X_m,Y_1,\dots ,Y_n]+𝔟K[X_1,\dots ,X_m,Y_1,\dots ,Y_n]\subseteq K[X_1,\dots ,X_m,Y_1,\dots ,Y_n]$

verschwinden, da diese Eigenschaft durch ein Erzeugendensystem des Ideals festgelegt ist.

Zur bewiesenen Aussage