Affine Varietäten/Verschwindungsideal/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Sei eine Teilmenge. Dann nennt man

das Verschwindungsideal zu . Es wird mit bezeichnet.

Es handelt sich dabei in der Tat um ein Ideal: Wenn und ist für alle , so gilt dies auch für die Summe und für jedes Vielfache .

Damit haben wir zwei Zuordnungen in entgegengesetze Richtung: Einer Teilmenge im affinen Raum wird das Verschwindungsideal zugeordnet und einem Ideal im Polynomring das zugehörige Nullstellengebilde. Wir interessieren uns dafür, inwiefern sich Ideale und Nullstellengebilde entsprechen.


Beispiel  

Das Verschwindungsideal zur leeren Menge ist das Einheitsideal, da es keinen Punkt gibt, auf dem die Nullstellenbedingung überprüft werden müsste.

Das Verschwindungsideal zum Gesamtraum hängt vom Körper ab. Wenn dieser unendlich ist, so gibt es nur das Nullpolynom, das überall verschwindet, und folglich ist das Verschwindungsideal gleich dem Nullideal. Dies folgt aus Aufgabe.

Ist hingegen der Körper endlich mit Elementen, so ist für jedes . Also verschwindet das Polynom auf jedem Punkt der affinen Geraden und gehört somit zum Verschwindungsideal der affinen Geraden. In höherer Dimension ist das Verschwindungsideal gleich .



Beispiel  

Sei . Dann ist das Verschwindungsideal gleich dem Ideal . Zunächst ist klar, dass die linearen Polynome im Punkt verschwinden (wegen ). Damit gehört auch das von diesen Polynomen erzeugte Ideal zum Verschwindungsideal. Sei umgekehrt ein Polynom mit . Wir schreiben in den „neuen Variablen“

indem wir durch ersetzen. In den neuen Variablen sei . Dieses Polynom besteht aus der Konstanten , in jedem anderen Monom kommt mindestens eine Variable vor. Also können wir

mit gewissen Polynomen schreiben. Daher ist und .




Lemma  

Seien zwei Teilmengen.

Dann gilt für die zugehörigen Verschwindungsideale die Inklusion

Beweis  

Sei , d.h. es ist für alle Dann ist erst recht für alle . Also ist auch .




Lemma  

Sei ein Ideal und sei eine Teilmenge. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Es ist .
  2. Es ist .
  3. Es ist .
  4. Es ist .

Beweis  

(1). Sei ein Punkt. Dann verschwindet nach Definition jedes Polynom auf , also .

(2). Sei . Dann verschwindet auf ganz und daher ist .

(3). Nach (1), angewandt auf , haben wir die Inklusion „ “. Nach (2) ist . Wendet man darauf an, so ergibt sich nach Fakt die andere Inklusion.

(4). Wie (3).



Beispiel  

Die Inklusionen in Fakt (1), (2) sind echt. Sei zum Beispiel eine unendliche echte Teilmenge (was voraussetzt, dass unendlich ist). Dann ist , und also ist echt größer als .

Zu (2). Sei , . Dann ist und , aber . Ein extremeres Beispiel für ist mit . Das Verschwindungsideal zu diesem Punkt ist aber das Ideal .




Lemma  

Sei eine Teilmenge. Dann ist der Zariski-Abschluss von gleich

Beweis  

Die Inklusion wurde in Fakt  (1) gezeigt. Da nach Definition abgeschlossen ist, folgt daraus .

Sei umgekehrt und sei angenommen. Dies bedeutet, dass es eine Zariski-offene Menge gibt mit und . Sei . Die Bedingung bedeutet, dass es ein geben muss mit . Es ist dann und damit . Also ist und somit . Wegen ergibt sich ein Widerspruch zu .