Affine Varietäten/Verschwindungsideal/Einführung/Textabschnitt

Definition

Sei ${}T\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine Teilmenge. Dann nennt man

${\left\{F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\mid F(P)=0{\text{ für alle }}P\in T\right\}}$

das Verschwindungsideal zu ${}T$. Es wird mit ${}\operatorname {Id} \,(T)$ bezeichnet.

Es handelt sich dabei in der Tat um ein Ideal: Wenn ${}F(P)=0$ und ${}G(P)=0$ ist für alle ${}P\in T$, so gilt dies auch für die Summe ${}F+G$ und für jedes Vielfache ${}HF$.

Damit haben wir zwei Zuordnungen in entgegengesetze Richtung: Einer Teilmenge im affinen Raum wird das Verschwindungsideal zugeordnet und einem Ideal im Polynomring das zugehörige Nullstellengebilde. Wir interessieren uns dafür, inwiefern sich Ideale und Nullstellengebilde entsprechen.

Beispiel

Das Verschwindungsideal zur leeren Menge ist das Einheitsideal, da es keinen Punkt gibt, auf dem die Nullstellenbedingung überprüft werden müsste.

Das Verschwindungsideal zum Gesamtraum ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ hängt vom Körper ab. Wenn dieser unendlich ist, so gibt es nur das Nullpolynom, das überall verschwindet, und folglich ist das Verschwindungsideal gleich dem Nullideal. Dies folgt aus Aufgabe.

Ist hingegen der Körper endlich mit ${}q$ Elementen, so ist ${}x^{q}-x=0$ für jedes ${}x\in K$. Also verschwindet das Polynom ${}X^{q}-X$ auf jedem Punkt der affinen Geraden und gehört somit zum Verschwindungsideal der affinen Geraden. In höherer Dimension ist das Verschwindungsideal gleich ${}(X_{1}^{q}-X_{1},X_{2}^{q}-X_{2},\ldots ,X_{n}^{q}-X_{n})$.

Beispiel

Es sei ${}P=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$. Dann ist das Verschwindungsideal ${}\operatorname {Id} \,(P)$ gleich dem Ideal ${}(X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n})$. Zunächst ist klar, dass die linearen Polynome ${}X_{i}-a_{i}$ im Punkt ${}P$ verschwinden (wegen $(X_{i}-a_{i})(P)=a_{i}-a_{i}=0$). Damit gehört auch das von diesen Polynomen erzeugte Ideal zum Verschwindungsideal. Es sei umgekehrt ${}F$ ein Polynom mit ${}F(P)=0$. Wir schreiben ${}F$ in den „neuen Variablen“

${\tilde {X}}_{1}=X_{1}-a_{1},\ldots ,{\tilde {X}}_{n}=X_{n}-a_{n}\,,$

indem wir ${}X_{i}$ durch ${}X_{i}-a_{i}+a_{i}$ ersetzen. In den neuen Variablen sei ${}F=\sum _{\nu }b_{\nu }{\tilde {X}}^{\nu }$. Dieses Polynom besteht aus der Konstanten ${}b_{0}$, in jedem anderen Monom kommt mindestens eine Variable vor. Also können wir

${}F=F_{1}{\tilde {X}}_{1}+\cdots +F_{n}{\tilde {X}}_{n}+c\,$

mit gewissen Polynomen ${}F_{i}$ schreiben. Daher ist ${}F(P)=c=0$ und ${}F\in ({\tilde {X}}_{1},\ldots ,{\tilde {X}}_{n})$.

Lemma

Seien ${}V\subseteq W\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ zwei Teilmengen.

Dann gilt für die zugehörigen Verschwindungsideale die Inklusion

${}\operatorname {Id} \,(W)\subseteq \operatorname {Id} \,(V)\,.$

Beweis

Es sei ${}F\in \operatorname {Id} \,(W)$, d.h. es ist ${}F(P)=0$ für alle ${}P\in W$ Dann ist erst recht ${}F(P)=0$ für alle ${}P\in V$. Also ist auch ${}F\in \operatorname {Id} \,(V)$.

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Lemma

Es sei ${}I\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Ideal und sei ${}T\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine Teilmenge. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es ist ${}T\subseteq V(\operatorname {Id} (T))$.
2. Es ist ${}I\subseteq \operatorname {Id} (V(I))$.
3. Es ist ${}V(I)=V(\operatorname {Id} (V(I)))$.
4. Es ist ${}\operatorname {Id} (T)=\operatorname {Id} (V(\operatorname {Id} (T)))$.

Beweis

(1). Es sei ${}P\in T$ ein Punkt. Dann verschwindet nach Definition jedes Polynom ${}F\in \operatorname {Id} (T)$ auf ${}T$, also ${}P\in V(\operatorname {Id} (T))$.

(2). Es sei ${}F\in I$. Dann verschwindet ${}F$ auf ganz ${}V(I)$ und daher ist ${}F\in \operatorname {Id} \,(V(I))$.

(3). Nach (1), angewandt auf ${}T=V(I)$, haben wir die Inklusion „${}\subseteq$ “. Nach (2) ist ${}I\subseteq \operatorname {Id} \,(V(I))$. Wendet man darauf ${}V(-)$ an, so ergibt sich nach Fakt die andere Inklusion.

(4). Wie (3).

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Beispiel

Die Inklusionen in Fakt (1), (2) sind echt. Es sei zum Beispiel ${}T\subset {\mathbb {A} }_{K}^{1}$ eine unendliche echte Teilmenge (was voraussetzt, dass ${}K$ unendlich ist). Dann ist ${}\operatorname {Id} (T)=0$, und also ist ${}V(0)={\mathbb {A} }_{K}^{1}$ echt größer als ${}T$.

Zu (2). Es sei ${}I=(X^{2})$, ${}R=K[X]$. Dann ist ${}V(I)=\{0\}$ und ${}\operatorname {Id} \,(\{0\})=(X)$, aber ${}X\notin (X^{2})$. Ein extremeres Beispiel für ${}R=\mathbb {R} [X,Y]$ ist ${}I=(X^{2}+Y^{2})$ mit ${}V(I)=\{(0,0)\}$. Das Verschwindungsideal zu diesem Punkt ist aber das Ideal ${}(X,Y)$.

Lemma

Sei ${}T\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine Teilmenge. Dann ist der Zariski-Abschluss von ${}T$ gleich

${}{\overline {T}}=V(\operatorname {Id} \,(T))\,.$

Beweis

Die Inklusion ${}T\subseteq V(\operatorname {Id} \,(T))$ wurde in Fakt  (1) gezeigt. Da ${}V(\operatorname {Id} \,(T))$ nach Definition abgeschlossen ist, folgt daraus ${}{\overline {T}}\subseteq V(\operatorname {Id} \,(T))$.

Es sei umgekehrt ${}P\in V(\operatorname {Id} \,(T))$ und sei ${}P\not \in {\overline {T}}$ angenommen. Dies bedeutet, dass es eine Zariski-offene Menge ${}U$ gibt mit ${}P\in U$ und ${}U\cap T=\emptyset$. Es sei ${}U=D({\mathfrak {a}})$. Die Bedingung ${}P\in U$ bedeutet, dass es ein ${}G\in {\mathfrak {a}}$ geben muss mit ${}G(P)\neq 0$. Es ist dann ${}P\in D(G)\subseteq U$ und damit ${}T\cap D(G)=\emptyset$. Also ist ${}T\subseteq V(G)$ und somit ${}G\in \operatorname {Id} \,(T)$. Wegen ${}G(P)\neq 0$ ergibt sich ein Widerspruch zu ${}P\in V(\operatorname {Id} \,(T))$.

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