Affiner Raum/Affine Gerade/Beschreibung als Urbild/6/Aufgabe/Lösung

Der Richtungsvektor ${}{\begin{pmatrix}2\\2\\-5\end{pmatrix}}$ gehört jeweils zum Kern der beiden linear unabhängigen Linearformen ${}\left(1,\,-1,\,0\right)$ und ${}\left(0,\,5,\,2\right)$. Daher machen wir den Ansatz

${}\psi {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x-y+a\\5y+2z+b\end{pmatrix}}\,.$

Für den Aufpunkt ${}{\begin{pmatrix}3\\-2\\5\end{pmatrix}}$ ergibt sich die Bedingung

${}\psi {\begin{pmatrix}3\\-2\\5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5+a\\b\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\,,$

also ist ${}a=-4$ und ${}b=0$. Somit ist

${}\psi {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x-y-4\\5y+2z\end{pmatrix}}\,$

eine affine Abbildung mit Urbild über ${}(1,0)$ wie gewünscht.

Zur gelösten Aufgabe