Affiner Raum/Affine Gerade/Beschreibung als Urbild/6/Aufgabe/Lösung

Der Richtungsvektor $\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ -5\end{array}\right)$ gehört jeweils zum Kern der beiden linear unabhängigen Linearformen $(1,-1,0)$ und $(0,5,2)$. Daher machen wir den Ansatz

$\psi \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x-y+a\\ 5y+2z+b\end{array}\right).$

Für den Aufpunkt $\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 5\end{array}\right)$ ergibt sich die Bedingung

$\psi \left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5+a\\ b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),$

also ist  $a=-4$  und  $b=0$.  Somit ist

$\psi \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x-y-4\\ 5y+2z\end{array}\right)$

eine affine Abbildung mit Urbild über $(1,0)$ wie gewünscht.

Zur gelösten Aufgabe