Affiner Raum/Algebraisch abgeschlossen/Korrespondenz zwischen affin algebraischen Mengen und Radikalen/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ affin-algebraisch. Dann gilt ${}V=V(\operatorname {Id} \,(V))$ nach Fakt  (3). Für ein Radikal ${}I\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ gilt die Inklusion ${}I\subseteq \operatorname {Id} \,(V(I))$ ebenfalls nach Fakt  (2). Die umgekehrte Inklusion, also ${}\operatorname {Id} \,(V(I))\subseteq I$, ist der Inhalt des Hilbertschen Nullstellensatzes.

Zur bewiesenen Aussage