Affiner Raum/Algebraisch abgeschlossen/Korrespondenz zwischen affin algebraischen Mengen und Radikalen/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei  $V\subseteq {𝔸}_K^n$  affin-algebraisch. Dann gilt  $V=V(\mathrm{Id}(V))$  nach Fakt  (3). Für ein Radikal  $I\subseteq K[X_1,\dots ,X_n]$  gilt die Inklusion  $I\subseteq \mathrm{Id}(V(I))$  ebenfalls nach Fakt  (2). Die umgekehrte Inklusion, also  $\mathrm{Id}(V(I))\subseteq I$,  ist der Inhalt des Hilbertschen Nullstellensatzes.

Zur bewiesenen Aussage