Affiner Raum/Endliche Vereinigungen von affinen Teilräumen/Topologie/Zariski/Aufgabe/Lösung

1. Der Gesamtraum ${}K^{n}$ ist ein affin-linearer Raum und die leere Menge ist die leere Vereinigung (oder der leere affine Raum), diese sind also abgeschlossen. Eine endliche Vereinigung von endlichen Vereinigungen von affin-linearen Räumen ist selbst eine endliche Vereinigung von affin-linearen Räumen. Die Durchschnittseigenschaft beweisen wir durch Induktion über die Dimension des Raumes, die Aussage ist klar, wenn der Raum ${}0$-dimensional ist. Sei also die Aussage für Dimensionen  ${}d<n$  bewiesen. Zunächst ist ein beliebiger Durchschnitt von affin-linearen Räumen ein (eventuell leerer) affin-linearer Raum. Es sei eine Menge der Form

   $\bigcap _{i\in I}{\left(\bigcup _{j_{i}\in J_{i}}A_{j_{i}}\right)}$

   mit ${}I$ beliebig, ${}J_{i}$ endlich und ${}A_{j_{i}}$ affin-linearen Räumen gegeben. Wenn alle Vereinigungen ${}\bigcup _{j_{i}\in J_{i}}A_{j_{i}}$ der Gesamtraum sind, so ist auch der Duchschnitt der Gesamtraum. Es sei also für ein  ${}k\in I$  die Vereinigung ${}\bigcup _{j_{k}\in J_{k}}A_{j_{k}}$ nicht der Gesamtraum. Insbesondere haben dann alle ${}A_{j_{k}}$ eine kleinere Dimension. Es ist dann

   ${}{\begin{aligned}\bigcap _{i\in I}{\left(\bigcup _{j_{i}\in J_{i}}A_{j_{i}}\right)}&={\left(\bigcup _{j_{k}\in J_{k}}A_{j_{k}}\right)}\cap \bigcap _{i\in I\setminus \{k\}}{\left(\bigcup _{j_{i}\in J_{i}}A_{j_{i}}\right)}\\&=\bigcup _{j_{k}\in J_{k}}A_{j_{k}}\cap {\left(\bigcap _{i\in I\setminus \{k\}}{\left(\bigcup _{j_{i}\in J_{i}}A_{j_{i}}\right)}\right)}\\&=\bigcup _{j_{k}\in J_{k}}{\left(\bigcap _{i\in I\setminus \{k\}}{\left(\bigcup _{j_{i}\in J_{i}}A_{j_{k}}\cap A_{j_{i}}\right)}\right)}.\end{aligned}}$

   Dabei ist

   ${}\bigcap _{i\in I\setminus \{k\}}{\left(\bigcup _{j_{i}\in J_{i}}A_{j_{k}}\cap A_{j_{i}}\right)}\subseteq A_{j_{k}}\,$

   ein Durchschnitt von endlichenen Vereinigungen von affinen Räumen in dem niedrigerdimensionalen Raum ${}A_{j_{k}}$, also nach Induktionsvoraussetzung selbst eine endliche Vereinigung.

2. Bei  ${}n=1$  stimmen beide Topologien überein, da in ihnen nur die Gesamtmenge und endliche Punktmengen abgeschlossen sind.
3. Affine Unterräume sind auch abgeschlossenen in der Zariski-Topologie. Bei  ${}n=2$  und  ${}K=\mathbb {R}$  ist beispielsweise der Kreis ${}V{\left(x^{2}+y^{2}-1\right)}$ abgeschlossen in der Zariski-Topologie, aber keine Vereinigung von affinen Teilräumen.

Zur gelösten Aufgabe