Affines Schema/Quasikohärenter Modul/Einführung/Textabschnitt

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Zu einem komutativen Ring sind die -Moduln wichtig und charakteristisch für den Ring, etwa Ideale, Restklassenringe, projektive Moduln, der Modul der Kählerdifferentiale u.s.w. Diese Moduln wollen wir im Kontext des Spektrums, also in einer geometrisierten Form, wiederfinden. Der Aufbau erfolgt parallel dazu, wie die Strukturgarbe auf dem Spektrum eingeführt wird.


Beispiel  

Es sei ein -Modul über dem kommutativen Ring . Dann kann man eine Prägarbe von Moduln definieren, indem man zu einer offenen Menge die Festlegung

trifft. Dies sind Moduln über dem Ring und es liegen natürliche Restriktionshomomorphismen vor, die mit den Modulstrukturen verträglich sind. Der Halm dieser Prägarbe in einem Primideal ist



Definition  

Es sei das affine Schema eines kommutativen Ringes und sei ein -Modul. Unter dem zu gehörenden -Modul auf versteht man die Zuordnung, die jeder offenen Menge die kommutative Gruppe

zusammen mit der Skalarmultiplikation

zuordnet, und wobei jeder Inklusion die natürliche Projektion zugeordnet wird.

Wenn man mit dem Ring selbst startet, so erhält man die Strukturgarbe.



Lemma  

Zu einem -Modul über einem kommutativen Ring ist

ein -Modul auf dem affinen Schema .

Beweis  

Dies beruht darauf, dass als Vergarbung zur Prägarbe definiert wird und die Modulstruktur sich auf die Vergarbung vererbt.




Lemma  

Es sei das affine Schema zu einem kommutativen Ring und es sei ein Punkt, der dem Primideal entspreche. Es sei ein -Modul mit der zugehörigen Modulgarbe .

Dann ist der Halm dieser Garbe gleich

Beweis  

Dies ergibt sich aus Beispiel und Fakt  (2).




Lemma  

Es sei das affine Schema zu einem kommutativen Ring und sei ein -Modul mit der zugehörigen Modulgarbe -Modul . Es sei .

Dann ist

Insbesondere ist der globale Schnittmodul gleich .

Beweis  

Wir beweisen den angeführten Spezialfall. Es gibt einen natürlichen -Modulhomomorphismus . Dieser ist injektiv, da man das Nullsein eines Elementes lokal testen kann, vergleiche Fakt. Zum Nachweis der Surjektivität sei ein globales Element. Dies bedeutet, dass es eine offene Überdeckung

und Elemente

mit gibt, die als Schnitte über

also als Elemente in übereinstimmen. Nach Fakt können wir annehmen, dass endlich ist. Ferner können wir die durch ihr Maximum ersetzen (was natürlich die lokalen Zähler auch ändert). Die Verträglichkeit bedeutet die Existenz von Gleichungen

in , wobei wir als ein Maximum gewählt haben. Nach Fakt  ((2), (4)) erzeugen die , , das Einheitsideal. Dies gilt dann auch für die , , d.h. es gibt mit

Wir setzen

Es ist dann

Dies bedeutet wiederum in , d.h. der Schnitt wird von einem Modulelement repräsentiert.

Wir betrachten nun die Situation auf . Diese entspricht aber der behandelten Situation, wenn man als neuen Modul ansetzt.