Algebra/Endlich erzeugt/Tensorprodukt/Kern der Multiplikation/Standarderzeuger/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt müssen wir nur Ausdrücke der Form ${}g\otimes 1-1\otimes g$ mit ${}g\in R$ betrachten. Dabei können wir weiter annehmen, dass ${}g$ durch ein Monom

${}X^{\nu }=X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}\,$

repräsentiert wird. Wir schreiben

${}{\begin{aligned}X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}\otimes 1-1\otimes X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}&=\sum _{i=1}^{n}{\left(X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{i}^{\nu _{i}}\otimes X_{i+1}^{\nu _{i+1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}-X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{i-1}^{\nu _{i-1}}\otimes X_{i}^{\nu _{i}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{i-1}^{\nu _{i-1}}\otimes X_{i+1}^{\nu _{i+1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}{\left(X_{i}^{\nu _{i}}\otimes 1-1\otimes X_{i}^{\nu _{i}}\right)}.\,\end{aligned}}$

Somit muss man nur noch die Potenzausdrücke in einer Variablen betrachten. Für diese gilt

${}X_{i}^{\nu _{i}}\otimes 1-1\otimes X_{i}^{\nu _{i}}={\left(X_{i}\otimes 1-1\otimes X_{i}\right)}{\left(X_{i}^{\nu _{i}-1}\otimes 1+X_{i}^{\nu _{i}-2}\otimes X_{i}+\cdots +1\otimes X_{i}^{\nu _{i}-1}\right)}\,.$

Zur bewiesenen Aussage