Algebra/Modul der Hauptteile/Universeller Operator/Produkteigenschaft/Fakt/Beweis

Beweis

Es ist

{}{\begin{aligned}{\left(1\otimes f_{0}-f_{0}\otimes 1\right)}\cdot {\left(1\otimes f_{1}-f_{1}\otimes 1\right)}\cdots {\left(1\otimes f_{n}-f_{n}\otimes 1\right)}&=\sum _{I\subseteq \{0,\ldots ,n\}}(-1)^{\#\left(I\right)}\prod _{i\in I}f_{i}\otimes \prod _{i\notin I}f_{i}\\&=1\otimes f_{0}\cdots f_{n}+\sum _{I\subseteq \{0,\ldots ,n\},\,I\neq \emptyset }(-1)^{\#\left(I\right)}\prod _{i\in I}f_{i}\otimes \prod _{i\notin I}f_{i}\end{aligned}}

und dieses Element gehört zu ${}\Delta ^{n+1}$ , ist also gleich ${}0$ im Hauptteilmodul. Somit ist

{}{\begin{aligned}d^{n}(f_{0}\cdots f_{n})&=1\otimes f_{0}\cdots f_{n}\\&=-\sum _{I\subseteq \{0,\ldots ,n\},\,I\neq \emptyset }(-1)^{\#\left(I\right)}\prod _{i\in I}f_{i}\otimes \prod _{i\notin I}f_{i}\\&=\sum _{I\subseteq \{0,\ldots ,n\},\,I\neq \emptyset }(-1)^{{\#\left(I\right)}+1}\prod _{i\in I}f_{i}\otimes \prod _{i\notin I}f_{i}\\&=\sum _{I\subseteq \{0,\ldots ,n\},\,I\neq \emptyset }(-1)^{{\#\left(I\right)}+1}\prod _{i\in I}f_{i}\cdot d^{n}{\left(\prod _{i\notin I}f_{i}\right)}.\end{aligned}}