Algebraische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/16/Aufgabe/Lösung

1. Eine ebene affin-algebraische Kurve über einem Körper ${}K$ ist das Nullstellengebilde  ${}V(F)\subseteq K^{2}$  eines nicht-konstanten Polynoms ${}F$ in zwei Variablen.
2. Man nennt

   ${\left\{F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\mid F(P)=0{\text{ für alle }}P\in T\right\}}$

   das Verschwindungsideal zu ${}T$.

3. Der ${}R$-Modul ${}M$ heißt noethersch, wenn jeder ${}R$-Untermodul von ${}M$ endlich erzeugt ist.
4. Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt zusammenhängend, wenn er genau zwei idempotente Elemente (nämlich $0\neq 1$) enthält.
5. Man nennt das minimale positive Element ${}e\in M$, ${}e\geq 1$, die Multiplizität von ${}M$.
6. Eine Funktion

   $f\colon U\longrightarrow K$

   heißt algebraisch, wenn es für jeden Punkt ${}P\in U$ eine offene affine Umgebung ${}P\in V\subseteq U$ derart gibt, dass die auf ${}V$ eingeschränkte Funktion ${}f{|}_{V}$ algebraisch im Punkt ${}P$ ist.

Zur gelösten Aufgabe