Algebraische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/17/Aufgabe/Lösung

1. Unter der Zariski-Topologie im affinen Raum ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ versteht man diejenige Topologie, bei der die affin-algebraischen Mengen als abgeschlossen erklärt werden.
2. Man nennt ${}M$ einen ${}R$-Modul, wenn eine Operation

   $R\times M\longrightarrow M,\,(r,v)\longmapsto rv=r\cdot v,$

   festgelegt ist, die folgende Axiome erfüllt (dabei seien $r,s\in R$ und $u,v\in M$ beliebig):

   1. ${}r(su)=(rs)u$,
   2. ${}r(u+v)=(ru)+(rv)$,
   3. ${}(r+s)u=(ru)+(su)$,
   4. ${}1u=u$.
3. Eine monomiale Kurve ist das Bild der affinen Geraden ${}{\mathbb {A} }_{K}^{1}$ unter einer Abbildung der Form

   ${\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}},\,t\longmapsto \left(t^{e_{1}},\,\ldots ,\,t^{e_{n}}\right),$

   mit ${}e_{i}\geq 1$ für alle ${}i$.

4. Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt lokal, wenn ${}R$ genau ein maximales Ideal besitzt.
5. Wenn ${}P$ der Nullpunkt ist, was man durch eine lineare Variablentransformation erreichen kann, so sei

   ${}F=F_{d}+F_{d-1}+\cdots +F_{m}\,$

   die homogene Zerlegung von ${}F$ mit $F_{d}\neq 0$ und $F_{m}\neq 0$, ${}d\geq m$. Dann heißt ${}m$ die Multiplizität der Kurve im Punkt ${}P$.

6. Der projektive Raum ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ besteht aus allen Geraden des ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}$ durch den Nullpunkt.

Zur gelösten Aufgabe