Algebraische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/19/Aufgabe/Lösung

1. Man nennt

   ${\left\{F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\mid F(P)=0{\text{ für alle }}P\in T\right\}}$

   das Verschwindungsideal zu ${}T$.

2. Zwei rationale Funktionen ${}\varphi _{1}={\frac {P_{1}}{Q_{1}}}$ und ${}\varphi _{2}={\frac {P_{2}}{Q_{2}}}$ mit ${}P_{1},P_{2},Q_{1},Q_{2}\in K[T]$, ${}Q_{1},Q_{2}\neq 0$, heißen eine rationale Parametrisierung der algebraischen Kurve ${}V(F)$, wenn

   ${}F(\varphi _{1}(T),\varphi _{2}(T))=0\,$

   ist und ${}(\varphi _{1},\varphi _{2})$ nicht konstant ist.

3. Man nennt den ganzen Abschluss von ${}R$ im Quotientenkörper ${}Q(R)$ die Normalisierung von ${}R$.
4. Es sei ${}F={\sum }_{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}\in K[\![T]\!]$ eine Potenzreihe und es sei ${}G={\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}$ eine weitere Potenzreihe mit konstantem Term ${}0$. Dann nennt man die Potenzreihe

   ${}{\begin{aligned}F(G)&=a_{0}+a_{1}{\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}\right)}+a_{2}{\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}\right)}^{2}+a_{3}{\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}\right)}^{3}+\ldots \\&={\sum }_{k=0}^{\infty }c_{k}T^{k}\end{aligned}}$

   die eingesetzte Potenzreihe.
5. Unter der Schnittmultiplizität von ${}V(F)$ und ${}V(G)$ in ${}P$ versteht man die Dimension

   $\dim _{K}{\left(K[X,Y]_{P}/(F,G)\right)}.$

6. Die Homogenität des Ideals ${}{\mathfrak {a}}$ bedeutet, dass für jedes ${}H\in {\mathfrak {a}}$ mit homogener Zerlegung ${}H=\sum _{i}H_{i}$ auch ${}H_{i}\in {\mathfrak {a}}$ ist für alle homogenen Bestandteile ${}H_{i}$.

Zur gelösten Aufgabe