Algebraische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/20/Aufgabe/Lösung

1. Der Polynomring über ${}R$ besteht aus allen Polynomen

   $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}$

   mit ${}a_{i}\in R,\,i=0,\ldots ,n,\,n\in \mathbb {N}$,

   und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel

   ${}X^{n}\cdot X^{m}:=X^{n+m}\,$

   definiert ist.

2. Eine affin-algebraische Teilmenge  ${}W\subseteq V$  heißt eine irreduzible Komponente von ${}V$, wenn sie irreduzibel ist und wenn es keine irreduzible Teilmenge  ${}W\subset W'\subseteq V$  gibt.
3. Man nennt den Unterring

   ${}R_{S}:={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in R,\,g\in S\right\}}\subseteq Q(R)\,$

   die Nenneraufnahme zu ${}S$.

4. Die minimale Idealerzeugendenzahl für das maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ heißt die Einbettungsdimension von ${}R$.
5. Die Kurven ${}V(F)$ und ${}V(G)$ schneiden sich im Punkt ${}P\in V(F,G)$ transversal, wenn ${}P$ sowohl auf ${}V(F)$ als auch auf ${}V(G)$ ein glatter Punkt ist und wenn die Tangenten der beiden Kurven im Punkt ${}P$ verschieden sind.
6. Eine projektive ebene Kurve ist die Nullstellenmenge  ${}C=V_{+}(F)\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$  zu einem homogenen nicht-konstanten Polynom ${}F\in K[X,Y,Z]$.

Zur gelösten Aufgabe