Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/17/Aufgabe/Lösung

1. Es sei $K$ ein Körper und seien $A$ und $B$ zwei $K$-Algebren von endlichem Typ. Es sei $\phi :A\to B$ ein $K$-Algebrahomomorphismus. Dann ist für jedes maximale Ideal $𝔪$ aus $B$ auch das Urbild ${\phi }^{-1}(𝔪)$ ein maximales Ideal.
2. Es sei $M\subseteq \mathbb{N}$ ein durch teilerfremde Elemente $e_1,\dots ,e_n$ erzeugtes Untermonoid und sei ${\mathbb{N}}^n\to M$ die zugehörige surjektive Abbildung mit dem zugehörigen Restklassenhomomorphismus $\phi :K[X_1,\dots ,X_n]\to K[M]$. Dann wird das Kernideal durch

   $\ker \phi =(\prod _{i\in I_1}{X}_i^{r_i}-\prod _{i\in I_2}{X}_i^{s_i}:I_1,I_2\subseteq \{1,\dots ,n\}\text{ disjunkt },\sum _{i\in I_1}{r}_i{e}_i=\sum _{i\in I_2}{s}_i{e}_i)$

3. Es sei $K$ ein Körper und sei $F\in K[X,Y]$ nichtkonstant ohne mehrfachen Faktor mit zugehöriger algebraischer Kurve  $C=V(F)$.  Es sei  $P=(a,b)\in C$  ein Punkt der Kurve mit maximalem Ideal  $𝔪=(X-a,Y-b)$  und mit lokalem Ring  $R=(K[X,Y{]}_{𝔪})/(F)$.  Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
   1. $P$ ist ein glatter Punkt der Kurve.
   2. Die Multiplizität von $P$ ist eins.
   3. $R$ ist ein diskreter Bewertungsring.
   4. $R$ ist ein normaler Integritätsbereich.

Zur gelösten Aufgabe