Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/17/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}A$ und ${}B$ zwei ${}K$-Algebren von endlichem Typ. Es sei ${}\varphi \colon A\rightarrow B$ ein ${}K$-Algebrahomomorphismus. Dann ist für jedes maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ aus ${}B$ auch das Urbild ${}\varphi ^{-1}({\mathfrak {m}})$ ein maximales Ideal.
2. Es sei ${}M\subseteq \mathbb {N}$ ein durch teilerfremde Elemente ${}e_{1},\ldots ,e_{n}$ erzeugtes Untermonoid und sei ${}\mathbb {N} ^{n}\rightarrow M$ die zugehörige surjektive Abbildung mit dem zugehörigen Restklassenhomomorphismus ${}\varphi \colon K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\rightarrow K[M]$. Dann wird das Kernideal durch

   $\ker \varphi ={\left(\prod _{i\in I_{1}}X_{i}^{r_{i}}-\prod _{i\in I_{2}}X_{i}^{s_{i}}:\,I_{1},I_{2}\subseteq \{1,\ldots ,n\}{\text{ disjunkt }},\sum _{i\in I_{1}}r_{i}e_{i}=\sum _{i\in I_{2}}s_{i}e_{i}\right)}\,$

3. Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}F\in K[X,Y]$ nichtkonstant ohne mehrfachen Faktor mit zugehöriger algebraischer Kurve  ${}C=V(F)$.  Es sei  ${}P=(a,b)\in C$  ein Punkt der Kurve mit maximalem Ideal  ${}{\mathfrak {m}}=(X-a,Y-b)$  und mit lokalem Ring  ${}R=(K[X,Y]_{\mathfrak {m}})/(F)$.  Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
   1. ${}P$ ist ein glatter Punkt der Kurve.
   2. Die Multiplizität von ${}P$ ist eins.
   3. ${}R$ ist ein diskreter Bewertungsring.
   4. ${}R$ ist ein normaler Integritätsbereich.

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