Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/18/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}R$ ein noetherscher Ring. Dann ist auch der Polynomring ${}R[X]$ noethersch.
2. Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Algebren von endlichem Typ. Es sei ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ ein ${}K$-Algebrahomomorphismus. Dann induziert dies eine Abbildung

   $\varphi ^{*}\colon K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)},\,P\longmapsto P\circ \varphi .$

   Diese Abbildung ist stetig bezüglich der Zariski-Topologie.
3. Es sei ${}K$ ein Körper mit dem Potenzreihenring ${}K[\![T]\!]$. Es sei ${}G\in K[\![S]\!]$ eine Potenzreihe mit konstantem Term ${}0$. Dann definiert ${}G$ durch Einsetzen einen ${}K$-Algebrahomomorphismus

   $K[\![T]\!]\longrightarrow K[\![S]\!],\,F\longmapsto F(G).$

Zur gelösten Aufgabe