Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/20/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}P,Q\in K[T]$ zwei Polynome. Dann gibt es ein Polynom ${}F\in K[X,Y]$, ${}F\neq 0$, mit ${}F(Q,P)=0$. D.h. das Bild einer polynomial parametrisierten Kurve liegt in einer ebenen algebraischen Kurve ${}C=V(F)$.
2. Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}M$ ein kommutatives Monoid. Es sei ${}B$ eine kommutative ${}R$-Algebra und

   $\varphi \colon M\longrightarrow B$

   ein Monoidhomomorphismus (bezüglich der multiplikativen Struktur von ${}B$). Dann gibt es einen eindeutig bestimmten ${}R$-Algebrahomomorphismus

   ${\tilde {\varphi }}\colon R[M]\longrightarrow B$

   derart, dass das Diagramm

   ${\begin{matrix}M&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&R[M]&\\&\searrow &\downarrow &\\&&B&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

   kommutiert.
3. Es sei ${}K$ ein Körper und ${}R=K[\![T]\!]$ der Potenzreihenring in einer Variablen. Dann ist ${}R$ ein diskreter Bewertungsring.

Zur gelösten Aufgabe