Algebraische Kurven/Geradenbündel/Aufgaben/Textabschnitt

In den folgenden Aufgaben besprechen wir eine algebraische Realisierung des Möbius-Bandes, die auf dem Konzept eines Geradenbündels beruht.

Ein Geradenbündel ${}L$ auf einer Varietät ${}U$ (über einem Körper ${}K$ ) ist eine Varietät ${}L$ zusammen mit einem Morphismus ${}p\colon L\rightarrow U$ und einer offenen affinen Überdeckung

{}U=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,

derart, dass es Isomorphismen

\varphi _{i}\colon L{|}_{U_{i}}\longrightarrow U_{i}\times {\mathbb {A} }_{K}^{1}

über ${}U_{i}$ derart gibt, dass zu ${}i,j$ die Übergangsabbildungen

\varphi _{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\circ \varphi _{j}^{-1}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\colon U_{i}\cap U_{j}\times {\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow U_{i}\cap U_{j}\times {\mathbb {A} }_{K}^{1}

linear sind, also auf der Ringebene durch ${}T\mapsto rT$ mit ${}r\in \Gamma (U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {O}})^{\times }$ gegeben sind.

Zu jeder Varietät ${}U$ gibt es das sogenannte triviale Geradenbündel ${}U\times {\mathbb {A} }_{K}^{1}$ . Die Definition besagt, dass „lokal“ jedes Geradenbündel trivial ist, obwohl es „global“ keineswegs trivial sein muss.

Aufgabe

Es sei ${}U$ eine Varietät und ${}p\colon L\rightarrow U$ ein Geradenbündel über ${}U$ . Zeige, dass zu jedem Punkt ${}P\in U$ die Faser ${}p^{-1}(P)$ isomorph zu einer affinen Geraden ${}{\mathbb {A} }_{K}^{1}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}U$ eine Varietät und ${}p\colon L\rightarrow U$ ein Geradenbündel über ${}U$ . Zeige, dass es zu jedem Punkt ${}P\in U$ eine wohldefinierte ${}K$ -Vektorraumstruktur auf der Faser ${}p^{-1}(P)$ gibt.

Aufgrund der vorstehenden Aussage besitzt jedes Geradenbündel einen Nullschnitt, der über jedem Basispunkt ${}P\in U$ aus dem Nullpunkt in der Faser besteht.

Aufgabe

Es sei ${}U$ eine reelle Varietät, ${}p\colon L\rightarrow U$ das triviale Geradenbündel und ${}Z\subset L$ der Nullschnitt. Zeige, dass ${}L\setminus Z$ in der reellen Topologie nicht zusammenhängend ist.

Aufgabe

Es sei

{}U=D(X,Y)={\mathbb {A} }_{K}^{2}\setminus \{(0,0)\}\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,

und

{}L=V(XU+YV)\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{4}}\,

zusammen mit der natürlichen Abbildung ${}p\colon L{|}_{U}\rightarrow U$ . Zeige, dass ${}L{|}_{U}$ das triviale Geradenbündel ist. Ist

p\colon L\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2}

ein Geradenbündel?

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}\neq 2$ . Wir betrachten den kommutativen Ring

{}S=K[X,Y]/{\left(X^{2}+Y^{2}-1\right)}\,

und die ${}S$ -Algebra

{}{\begin{aligned}B&=K[X,Y,Z,W]/{\left(X^{2}+Y^{2}-1,(1-X)Z-YW,YZ-(1+X)W\right)}\\&=S[Z,W]/{\left((1-X)Z-YW,YZ-(1+X)W\right)}.\end{aligned}}

Es sei ${}U=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}$ und ${}L=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(B\right)}$ mit der zugehörigen Spektrumsabbildung

p\colon L=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(B\right)}\longrightarrow U=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}.

Zeige, dass ${}D(1-X)$ und ${}D(1+X)$ eine offene affine Überdeckung von ${}U$ ist.
Zeige
${}B_{1-X}\cong S_{1-X}[W]\,$

und

${}B_{1+X}\cong S_{1+X}[Z]\,$
Zeige, dass ${}L$ ein Geradenbündel über ${}U$ ist.

Aufgabe *

Wir betrachten die Situation aus Aufgabe zu ${}K=\mathbb {R}$ . Es sei

\varphi \colon [0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} \!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)},\,t\longmapsto \left(\cos t,\,\sin t\right),

die trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises. Zeige, dass das Bild von

\psi \colon [0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ^{4},\,t\longmapsto \left(\cos t,\,\sin t,\,\cos {\frac {1}{2}}t,\,\sin {\frac {1}{2}}t\right),

in ${}\mathbb {R} \!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(B\right)}$ landet, dass ${}\varphi =p\circ \psi$ gilt, und dass das Bild von ${}\psi$ niemals den Nullschnitt trifft.

Aufgabe

Wir betrachten die Situation aus Aufgabe zu ${}K=\mathbb {R}$ . Zeige, dass ${}L$ ohne den Nullschnitt, aufgefasst mit der metrischen Topologie, zusammenhängend ist. Folgere, dass dieses Geradenbündel nicht trivial ist.

Aufgabe

Es sei

{}U=D(X,Y)={\mathbb {A} }_{K}^{2}\setminus \{(0,0)\}\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,

und

{}L=V(XU+YV-1)\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{4}}\,

zusammen mit der natürlichen Abbildung ${}p\colon L\rightarrow U$ . Zeige, dass diese Abbildung die Eigenschaft aus Aufgabe erfüllt, aber nicht die Eigenschaft aus Aufgabe.