Algebraische Raumkurven/Schnitt von zwei gleichgroßen Zylinern/Singuläre Punkte/Beispiel

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Wir knüpfen an Beispiel an, also den Schnitt der beiden Zylinder, die durch

gegeben sind. Die partiellen Ableitungen sind

Ein singulärer Punkt liegt vor, wenn diese durch die Jacobi-Matrix definierte Abbildung einen Rang hat, und dies ist genau dann der Fall, wenn die beiden partiellen Ableitungstupel linear abhängig sind (und es ein Punkt der zugehörigen Varietät ist). Wegen der beiden Nullen kann lineare Abhängigkeit nur bei vorliegen, und dort liegt sie für beliebiges auch vor. Bei ergibt allerdings nur einen Punkt der Kurve, und das sind die beiden singulären Punkte von . Dies sind natürlich genau die beiden Schnittpunkte der beiden Kreise, die nach Beispiel die irreduziblen Komponenten von sind.

Wenn die Radien der beiden Zylinder nicht gleich groß sind, sagen wir , so funktioniert die Bestimmung der singulären Punkte zunächst genau gleich, und man gelangt zur Bedingung und , die nicht beide zugleich erfüllt sein können. Bei unterschiedlichen Radien ist die Schnittkurve also glatt.