Algebraische ebene Kurve/Glatte und singuläre Punkte/Partielle Ableitungen/Kartesisches Blatt/Einführung/Textabschnitt

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Tangent.png

Sei ein Körper und , , ein Polynom ohne mehrfache Faktoren (da wir uns nur für die zugehörige Kurve interessieren, ist dies bei einem algebraisch abgeschlossenen Körper aufgrund des Hilbertschen Nullstellensatzes keine Einschränkung). Für jeden Punkt , kann man zu den Variablen und übergehen. Das bedeutet, dass man den Punkt in den Ursprung verschiebt. Für das Verhalten eines Polynoms an einem Punkt kann man sich also stets auf den Ursprungspunkt beschränken.

Sei also . Wir schreiben mit homogenen Komponenten als

Hier sind die homogen vom Grad . Was kann man an den einzelnen homogenen Komponenten ablesen? Zunächst gilt trivialerweise die Beziehung

Wenn man die Koordinaten von , also , in einsetzt, so werden ja alle höheren Komponenten zu gemacht, und lediglich die konstante Komponente bleibt übrig. Da wir uns hauptsächlich für das Verhalten der Kurve in einem Kurvenpunkt interessieren, werden wir uns häufig auf die Situation beschränken. Was ist dann die erste homogene Komponente , die nicht ist? Welche Rolle spielt dieses und welche Rolle spielen dessen Linearfaktoren?

Nehmen wir zunächst an, dass und ist. Diese Linearform (die sein kann) lässt sich auch mit partiellen Ableitungen charakterisieren, es ist nämlich

Hier und im Folgenden werden Polynome einfach formal abgeleitet. Damit ist auch genau dann, wenn ist. Wenn dies nicht der Fall ist, so ist es naheliegend, die durch die Gleichung definierte Gerade als Tangente an die Kurve im Punkt anzusehen. Ein erstes Indiz dafür ist, dass im linearen Fall die Gerade mit ihrer Tangente zusammenfallen soll.


Definition  

Sei ein Körper und ein von verschiedenes Polynom. Es sei ein Punkt der zugehörigen affinen ebenen Kurve. Dann heißt ein glatter Punkt von , wenn gilt

Andernfalls heißt der Punkt singulär.

Die Kurve heißt glatt, wenn sie in jedem ihrer Punkte glatt ist.


Definition  

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ein von verschiedenes Polynom. Es sei ein Punkt der zugehörigen affinen ebenen Kurve, der (nach einer linearen Variablentransformation) der Nullpunkt sei. Es sei

die homogene Zerlegung von mit und , . Dann heißt die Multiplizität der Kurve im Punkt . Sei die Zerlegung in lineare Faktoren. Dann nennt man jede Gerade , eine Tangente an im Punkt . Die Vielfachheit von in nennt man auch die Multiplizität der Tangente.

Der Punkt ist genau dann glatt, wenn die Multiplizität ist. In diesem Fall gibt es genau eine Tangente durch den Punkt, deren Steigung man über die partiellen Ableitungen berechnen kann.

Geraden, die sich im Punkt schneiden



Beispiel  

Seien verschiedene Geraden in der affinen Ebene gegeben, die alle durch den Nullpunkt laufen mögen. Es seien , die zugehörigen Gleichungen (die nur bis auf einen Skalar definiert sind). Die Vereinigung dieser Geraden wird dann durch das Produkt

beschrieben. Insbesondere ist homogen vom Grad . Hier definiert jeder Linearfaktor eine Tangente durch den Nullpunkt.



Beispiel  


Kartesisches-Blatt.svg


Das Kartesische Blatt wird durch die Gleichung beschrieben (die ist dabei nicht wichtig, und könnte durch eine andere Zahl ersetzt werden). Die homogenen Bestandteile der Kurvengleichung sind und . Damit hat der Nullpunkt des Kartesischen Blattes die Multiplizität zwei und ist singulär, und sowohl die - als auch die -Achse sind Tangenten (mit einfacher Multiplizität). An den übrigen Punkten ist die Kurve glatt (der Grundkörper habe nicht die Charakteristik ): aus

folgt und , also auch (ebenso für ). Dann ist oder und sind beide eine dritte Einheitswurzel (und zwar sind beide oder es sind die beiden anderen dritten Einheitswurzeln). An diesen anderen Verschwindungsstellen der beiden partiellen Ableitungen hat aber den Wert , diese sind also keine Punkte der Kurve.


Bemerkung  

Für einen glatten Punkt einer ebenen algebraischen Kurve ist die Multiplizität . Bei ist also der lineare Term der Kurvengleichung und es ist

(da die höheren homogenen Komponenten von keinen Beitrag zu den partiellen Ableitungen im Nullpunkt leisten). Diese lineare Gleichung ist also die Tangentengleichung. Auch für einen beliebigen glatten Punkt kann man aus den partiellen Ableitungen von in direkt die Tangentengleichung ablesen, und zwar ist die Tangente durch

gegeben.


Bemerkung  

Sei mit zugehöriger ebener algebraischer Kurve und sei ein glatter Punkt der Kurve. Zu

und dem Punkt gehört die durch die partiellen Ableitungen definierte lineare Tangentialabbildung (das totale Differential) zwischen den zugehörigen Tangentialräumen, also

Da ein glatter Punkt ist, ist diese lineare Abbildung nicht die Nullabbildung. Die (Richtung der) Tangente von an ist der Kern dieser Tangentialabbildung (wobei man bei der Identifizierung der Tangentialebene in mit der umgebenden affinen Ebene den Punkt mit dem Nullpunkt identifizieren muss. Die Tangente muss ja durch den Punkt gehen, der Kern gibt nur eine lineare Richtung vor).


Bei einer algebraischen Kurve sind die Schnittpunkte von irreduziblen Komponenten niemals glatt.

Die folgenden beiden Ausssagen zeigen, dass ein Kreuzungspunkt zweier irreduzibler Komponenten niemals glatt sein kann.


Lemma

Sei eine ebene algebraische Kurve und die Zerlegung in verschiedene Primfaktoren. Es sei ein glatter Punkt der Kurve.

Dann liegt auf nur einer Komponente der Kurve.

Beweis

Siehe Aufgabe.




Korollar  

Sei eine (Zariski)-zusammenhängende ebene glatte algebraische Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper.

Dann ist irreduzibel.

Beweis  

Aufgrund von Fakt sind die irreduziblen Komponenten der Kurve disjunkt. Dies sind dann aber auch die Zusammenhangskomponenten der Kurve. Also gibt es nur eine irreduzible Komponente und daher ist die Kurve irreduzibel.