Algebraischer Abschluss/Körpererweiterung/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es sei eine Körpererweiterung. Dann nennt man die Menge

den algebraischen Abschluss von in .



Satz  

Es sei eine Körpererweiterung und sei der algebraische Abschluss von in .

Dann ist ein Unterkörper von .

Beweis  

Wir müssen zeigen, dass bezüglich der Addition, der Multiplikation, des Negativen und des Inversen abgeschlossen ist. Seien . Wir betrachten die von und erzeugte -Unteralgebra , die aus allen -Linearkombinationen der , , besteht. Da sowohl  als auch algebraisch sind, kann man nach Fakt gewisse Potenzen und durch kleinere Potenzen ersetzen. Daher kann man alle Linearkombinationen mit den Monomen , , , ausdrücken. D.h. alle Operationen spielen sich in dieser endlichdimensionalen Unteralgebra ab. Daher sind Summe, Produkt und das Negative nach Fakt wieder algebraisch. Für das Inverse sei algebraisch. Dann ist nach Fakt ein Körper von endlicher Dimension. Daher ist selbst algebraisch.