Allgemeine lineare Gruppe/2/Konjugation/Explizit/Aufgabe/Lösung

Zu $g = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ ist

g^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} (\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix}) .

Somit ist die Operation explizit durch

\begin{matrix} (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) ∙ (\begin{matrix} x & y \\ z & w \end{matrix}) & = \frac{1}{a d - b c} (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} x & y \\ z & w \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix}) \\ = \frac{1}{a d - b c} (\begin{matrix} a x + b z & a y + b w \\ c x + d z & c y + d w \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix}) \\ = \frac{1}{a d - b c} (\begin{matrix} a d x + b d z - a c y - b c w & - a b x - b^{2} z + a^{2} y + a b w \\ c d x + d^{2} z - c^{2} y - c d w & - b c x - b d z + a c y + a d w \end{matrix}) \end{matrix}

gegeben.