Allgemeine lineare Gruppe/2/Konjugation/Fixraum/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik ${}\neq 2$. Wir betrachten die Operation der allgemeinen linearen Gruppe  ${}G=\operatorname {GL} _{2}\!{\left(K\right)}$  auf dem Vektorraum der ${}2\times 2$-Matrizen  ${}V=\operatorname {Mat} _{2\times 2}(K)$  durch Konjugation, also

$\operatorname {GL} _{2}\!{\left(K\right)}\times \operatorname {Mat} _{2\times 2}(K)\longrightarrow \operatorname {Mat} _{2\times 2}(K),\,(g,M)\longmapsto gMg^{-1}.$

a) Beschreibe die Operation explizit.

b) Bestimme den Untervektorraum ${}V^{G}$. Verwende den Satz über die Jordansche Normalform!

c) Beschreibe die invariante Projektion

$V\longrightarrow V^{G}.$

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